Prouver la concavité par le signe de la dérivée secondeUtiliser la position par rapport à une tangenteUtiliser la position par rapport à une corde
Soit $\varphi(x)=\ln(1+x)$ sur $]-1,+\infty[$.
- Montrer que $\varphi$ est concave sur $]-1,+\infty[$.
- En déduire que $\ln(1+x) \le x$ pour tout $x>-1$.
- Montrer que $x\ln 2 \le \ln(1+x)$ pour tout $x \in [0,1]$.
- En déduire que pour tout entier $n \ge 1$ : $2^{1/n} \le 1+\frac1n \le e^{1/n}$.
Indice 1
Calculer $\varphi''$.
Indice 2
La droite $y=x$ est la tangente au graphe en $0$.
Indice 3
Écrire $x=(1-x)\cdot 0+x\cdot 1$ pour $x \in [0,1]$ et appliquer la définition de la concavité.
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