Soit $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ pour $x \in \mathbb{R}$.
- Montrer, sans calculer $f'$, que $f'$ admet exactement trois racines réelles $c_1<c_2<c_3$, avec $c_1 \in\, ]1,2[$, $c_2 \in\, ]2,3[$ et $c_3 \in\, ]3,4[$.
- Vérifier que $f(5-x)=f(x)$ pour tout réel $x$. En déduire la valeur de $c_2$.
- En posant $u=x-\frac52$, calculer $c_1$ et $c_3$.
Appliquer Rolle sur chacun des segments $[1,2]$, $[2,3]$, $[3,4]$, puis utiliser le degré de $f'$.
Dériver la relation $f(5-x)=f(x)$ et l'évaluer en un point bien choisi.
Avec $u=x-\frac52$, les quatre facteurs s'écrivent $u \pm \frac12$ et $u \pm \frac32$.
- $f$ est polynomiale, donc continue et dérivable sur $\mathbb{R}$, et $f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0$. Le théorème de Rolle sur $[1,2]$ fournit $c_1 \in\, ]1,2[$ tel que $f'(c_1)=0$ ; de même sur $[2,3]$ et $[3,4]$, on obtient $c_2 \in\, ]2,3[$ et $c_3 \in\, ]3,4[$. Ces intervalles ouverts sont disjoints, donc $c_1<c_2<c_3$ sont distincts.
$f$ est de degré $4$ et de coefficient dominant $1$, donc $f'$ est de degré $3$ (coefficient dominant $4$) : il a au plus $3$ racines. Ainsi $f'$ a exactement les trois racines $c_1,c_2,c_3$, une dans chaque intervalle.
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Pour tout réel $x$ : $$f(5-x)=(4-x)(3-x)(2-x)(1-x)=(-1)^4(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)=f(x).$$ En dérivant (composée avec $x \mapsto 5-x$) : $-f'(5-x)=f'(x)$. En $x=\frac52$ : $-f'(\frac52)=f'(\frac52)$, donc $f'(\frac52)=0$. Comme $\frac52 \in\, ]2,3[$ et que $c_2$ est la seule racine de $f'$ dans cet intervalle, $c_2=\frac52$.
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Avec $u=x-\frac52$ : $x-1=u+\frac32$, $x-2=u+\frac12$, $x-3=u-\frac12$, $x-4=u-\frac32$. Donc $$f(x)=\left(u^2-\frac94\right)\left(u^2-\frac14\right)=u^4-\frac52u^2+\frac{9}{16}.$$ Ainsi $f(x)=h(x-\frac52)$ avec $h(u)=u^4-\frac52u^2+\frac9{16}$, et $f'(x)=h'(x-\frac52)$ où $h'(u)=4u^3-5u=u(4u^2-5)$. Les racines de $h'$ sont $0$ et $\pm\frac{\sqrt5}{2}$. D'où $$c_1=\frac{5-\sqrt5}{2} \approx 1{,}38, \qquad c_2=\frac52, \qquad c_3=\frac{5+\sqrt5}{2} \approx 3{,}62,$$ ce qui est cohérent avec la localisation de la question 1.
$c_1=\frac{5-\sqrt5}{2}$, $c_2=\frac52$, $c_3=\frac{5+\sqrt5}{2}$