Exercice corrigé : Examen : racines des polynômes de Legendre (esprit CCINP)

1. Par la formule du binôme, $Q_n(x)=\sum_{j=0}^{n}\binom nj(-1)^{n-j}x^{2j}=x^{2n}+R(x)$ avec $\deg R<2n$. Pour $m \ge n$, $(x^m)^{(n)}=\frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}$, et pour $m<n$, $(x^m)^{(n)}=0$. La dérivée $n$-ième de $R$ est donc de degré $<n$, et $$L_n(x)=\frac{(2n)!}{n!}x^n+(\text{termes de degré }<n).$$ $L_n$ est de degré $n$, de coefficient dominant $\frac{(2n)!}{n!}$.

2. On pose $A(x)=(x-1)^n$ et $B(x)=(x+1)^n$. Pour $0 \le j \le n$ : $A^{(j)}(x)=\frac{n!}{(n-j)!}(x-1)^{n-j}$, donc $A^{(j)}(1)=0$ si $j<n$ et $A^{(n)}=n!$. De même $B^{(i)}(-1)=0$ si $i<n$ et $B^{(n)}=n!$. Pour $0 \le k \le n$, la formule de Leibniz donne $$Q_n^{(k)}=\sum_{j=0}^{k}\binom kj A^{(j)}B^{(k-j)}.$$

• Si $k \le n-1$ : en $1$, chaque terme contient $A^{(j)}(1)$ avec $j \le k<n$, nul ; en $-1$, chaque terme contient $B^{(k-j)}(-1)$ avec $k-j \le k<n$, nul. Donc $Q_n^{(k)}(1)=Q_n^{(k)}(-1)=0$.
• Si $k=n$ : en $1$, seul le terme $j=n$ subsiste : $L_n(1)=n!\,B(1)=n!\,2^n$. En $-1$, seul le terme $j=0$ (où $B$ est dérivé $n$ fois) subsiste : $L_n(-1)=A(-1)\,n!=(-2)^n n!=(-1)^n2^nn!$.

3. Notons $\mathcal{H}_k$ : « $Q_n^{(k)}$ a au moins $k$ racines distinctes dans $]-1,1[$ ». $\mathcal{H}_0$ est vraie (aucune racine exigée). Soit $k \le n-1$ tel que $\mathcal{H}_k$ est vraie, et $y_1<\dots<y_k$ des racines de $Q_n^{(k)}$ dans $]-1,1[$. Par la question 2, $Q_n^{(k)}(-1)=Q_n^{(k)}(1)=0$. On dispose ainsi de $k+2$ zéros $-1<y_1<\dots<y_k<1$. $Q_n^{(k)}$ est polynomiale, donc continue et dérivable ; le théorème de Rolle sur chacun des $k+1$ segments délimités par ces zéros consécutifs fournit une racine de $Q_n^{(k+1)}$ dans chacun des $k+1$ intervalles ouverts correspondants. Ces intervalles sont disjoints et inclus dans $]-1,1[$ : $\mathcal{H}_{k+1}$ est vraie.

4. Pour $k=n$, $L_n$ a au moins $n$ racines distinctes dans $]-1,1[$. Comme $L_n$ est de degré $n$ (question 1), il a au plus $n$ racines. Il a donc exactement $n$ racines réelles $x_1,\dots,x_n$, toutes dans $]-1,1[$, et s'écrit $L_n(x)=\frac{(2n)!}{n!}\prod_{i=1}^n(x-x_i)$ avec des $x_i$ distincts : chaque racine est simple.

5. $Q_2(x)=x^4-2x^2+1$, $Q_2'(x)=4x^3-4x$, $L_2(x)=Q_2''(x)=12x^2-4$.

• Degré $2$, coefficient dominant $12=\frac{4!}{2!}$ : conforme à la question 1.
• $L_2(1)=8=2!\cdot 2^2$ et $L_2(-1)=8=(-1)^2\cdot 2^2\cdot 2!$ : conforme à la question 2.
• Racines $\pm\frac{1}{\sqrt3} \approx \pm 0{,}577$, distinctes et dans $]-1,1[$ : conforme à la question 4.

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