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Prépa, 1re année › Déterminants › Changement de base, caractérisation des bases

Changement de base, caractérisation des bases : énoncé (MPSI)

Propriété

Changement de base, caractérisation des bases

Soit $\mathcal B'$ une autre base de $E$.

  1. $\det_{\mathcal B'}=\det_{\mathcal B'}(\mathcal B)\,\det_{\mathcal B}$ et $\det_{\mathcal B}(\mathcal B')\,\det_{\mathcal B'}(\mathcal B)=1$.
  2. Une famille $(x_1,\dots,x_n)$ de $n$ vecteurs de $E$ est une base de $E$ si et seulement si $\det_{\mathcal B}(x_1,\dots,x_n)\neq0$.
Démonstration : Changement de base, caractérisation des bases
Démonstration

Démonstration

  1. $\det_{\mathcal B'}$ est $n$-linéaire alternée, donc égale à $\det_{\mathcal B'}(\mathcal B)\det_{\mathcal B}$ d'après le théorème. En échangeant les rôles, $\det_{\mathcal B}=\det_{\mathcal B}(\mathcal B')\det_{\mathcal B'}$ ; en évaluant en $\mathcal B'$ la première égalité, on obtient $1=\det_{\mathcal B'}(\mathcal B)\det_{\mathcal B}(\mathcal B')$.

  2. Si la famille est liée, son déterminant est nul (propriété 3 des formes alternées). Si c'est une base $\mathcal B'$, le point 1 donne $\det_{\mathcal B}(\mathcal B')\det_{\mathcal B'}(\mathcal B)=1$, donc $\det_{\mathcal B}(\mathcal B')\neq0$. Comme une famille de $n$ vecteurs en dimension $n$ est soit une base soit liée, l'équivalence est établie.

Exemple

Tester une base de R^3

Dans $\mathbb R^3$ muni de sa base canonique $\mathcal B$, soit $u=(1,1,0)$, $v=(0,1,1)$, $w=(1,0,1)$. La matrice des coordonnées (en colonnes) est $\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$. Par Sarrus : $$\det\nolimits_{\mathcal B}(u,v,w)=1\cdot1\cdot1+0\cdot0\cdot0+1\cdot1\cdot1-1\cdot1\cdot0-1\cdot0\cdot1-0\cdot1\cdot1=2.$$ Ce déterminant est non nul : $(u,v,w)$ est une base de $\mathbb R^3$.

Remarque

Interprétation géométrique

Dans $\mathbb R^2$ (resp. $\mathbb R^3$) muni de la base canonique, $|\det(u,v)|$ est l'aire du parallélogramme construit sur $u,v$ (resp. $|\det(u,v,w)|$ le volume du parallélépipède construit sur $u,v,w$). Le signe indique l'orientation de la famille. Ce point est admis ici et sert surtout d'intuition : un déterminant nul traduit un parallélogramme aplati, donc une famille liée.

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Dans le cours

Déterminants : Changement de base, caractérisation des bases