Propriétés d'une forme n-linéaire alternée : énoncé (MPSI)

On fixe tous les vecteurs sauf ceux d'indices $i<j$ et on note $g(x,y)$ la valeur de $f$ avec $x$ en position $i$ et $y$ en position $j$. L'application $g$ est bilinéaire et $g(z,z)=0$ pour tout $z$. Donc $$0=g(x+y,x+y)=g(x,x)+g(x,y)+g(y,x)+g(y,y)=g(x,y)+g(y,x).$$

La formule est vraie pour $\sigma=\mathrm{id}$. Supposons-la vraie pour $\sigma$ et soit $\tau$ une transposition. En posant $y_k=x_{\sigma(k)}$, on a $x_{\sigma\tau(k)}=y_{\tau(k)}$, donc, par antisymétrie puis hypothèse : $$f(x_{\sigma\tau(1)},\dots,x_{\sigma\tau(n)})=-f(y_1,\dots,y_n)=-\varepsilon(\sigma)f(x_1,\dots,x_n)=\varepsilon(\sigma\tau)f(x_1,\dots,x_n).$$ Comme toute permutation est un produit de transpositions, la formule est vraie pour tout $\sigma$ (récurrence sur le nombre de transpositions).

Si la famille est liée, l'un des vecteurs, disons $x_k$, est combinaison linéaire des autres : $x_k=\sum_{i\neq k}\lambda_ix_i$. Par linéarité en la $k$-ième variable, $f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i\neq k}\lambda_i f(x_1,\dots,x_i,\dots,x_i,\dots,x_n)$, où $x_i$ figure en positions $i$ et $k$. Chaque terme est nul car $f$ est alternée.