Calculer le déterminant d'un endomorphismeUtiliser l'indépendance vis-à-vis de la baseDéterminant triangulaire par blocsMultiplicativité du déterminant des endomorphismes
Pour $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$, on note $u_A:\mathcal M_n(\mathbb K)\to\mathcal M_n(\mathbb K)$, $M\mapsto AM$. On note $E_{kl}$ les matrices élémentaires (coefficient $1$ en position $(k,l)$, $0$ ailleurs).
- Dans cette question, $n=2$ et $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$. Écrire la matrice de $u_A$ dans la base $(E_{11},E_{21},E_{12},E_{22})$ et en déduire $\det u_A$.
- Dans le cas général, montrer que $\det u_A=(\det A)^n$.
- Soit $B\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ et $v:M\mapsto AMB$. Montrer que $\det v=(\det A\,\det B)^n$.
Indice 1
Calculer $AE_{kl}$ : seule la colonne $l$ de ce produit est non nulle. Laquelle est-ce ?
Indice 2
Ordonner la base colonne par colonne : $(E_{11},\dots,E_{n1},E_{12},\dots,E_{n2},\dots)$. La matrice obtenue est diagonale par blocs.
Indice 3
Pour $M\mapsto MB$, composer avec la transposition $t:M\mapsto M^T$, dont le déterminant a été calculé dans le cours.
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