Déterminant dans une base : énoncé (MPSI)

Analyse. Soit $f\in\Lambda_n(E)$. En développant par multilinéarité, $$f(x_1,\dots,x_n)=f\Big(\sum_{i_1}a_{i_11}e_{i_1},\dots,\sum_{i_n}a_{i_nn}e_{i_n}\Big)=\sum_{(i_1,\dots,i_n)\in\llbracket1,n\rrbracket^n}a_{i_11}\cdots a_{i_nn}\,f(e_{i_1},\dots,e_{i_n}).$$ Si deux indices $i_k$ sont égaux, le terme est nul car $f$ est alternée. Il ne reste que les $n$-uplets d'indices distincts, c'est-à-dire ceux pour lesquels $j\mapsto i_j$ est une permutation $\sigma$. Par l'effet d'une permutation, $f(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(n)})=\varepsilon(\sigma)f(e_1,\dots,e_n)$. Donc $$f(x_1,\dots,x_n)=f(e_1,\dots,e_n)\,D(x_1,\dots,x_n),\qquad D(x_1,\dots,x_n)=\sum_{\sigma\in\mathcal S_n}\varepsilon(\sigma)\prod_{j=1}^na_{\sigma(j)j}.$$ Si de plus $f(e_1,\dots,e_n)=1$, alors $f=D$ : d'où l'unicité.

Synthèse. Il reste à vérifier que $D$ convient.

• $n$-linéarité : dans le produit $\prod_j a_{\sigma(j)j}$, un seul facteur, $a_{\sigma(k)k}$, dépend de $x_k$, et c'est une coordonnée de $x_k$, donc une fonction linéaire de $x_k$.
• Caractère alterné : supposons $x_k=x_l$ avec $k<l$ et posons $\tau=(k\ l)$. Alors $a_{i\tau(m)}=a_{im}$ pour tous $i,m$. En réindexant par $j=\tau(m)$, $$\prod_{j}a_{\sigma\tau(j)j}=\prod_{m}a_{\sigma(m)\tau(m)}=\prod_m a_{\sigma(m)m},$$ tandis que $\varepsilon(\sigma\tau)=-\varepsilon(\sigma)$. L'application $\sigma\mapsto\sigma\tau$ est une bijection de l'ensemble des permutations de signature $1$ sur celui des permutations de signature $-1$ ; les termes de $D$ se regroupent donc par paires opposées et $D(x_1,\dots,x_n)=0$.
• Normalisation : pour $x_j=e_j$, $a_{ij}=\delta_{ij}$ et seul $\sigma=\mathrm{id}$ donne un produit non nul, égal à $1$. Donc $D(e_1,\dots,e_n)=1$.