Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension $n\geqslant1$, $u\in\mathcal L(E)$ et $f\in\Lambda_n(E)$. On définit $g_f:E^n\to\mathbb K$ par $$g_f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^nf(x_1,\dots,x_{i-1},u(x_i),x_{i+1},\dots,x_n).$$
- Montrer que $g_f\in\Lambda_n(E)$.
- Montrer qu'il existe un unique scalaire $c(u)$, ne dépendant pas de $f$, tel que $g_f=c(u)\,f$ pour toute $f\in\Lambda_n(E)$.
- Soit $\mathcal B=(e_1,\dots,e_n)$ une base de $E$ et $A=\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(u)$. Montrer que $c(u)=\mathrm{tr}(A)$.
- En déduire que la trace de la matrice de $u$ ne dépend pas de la base choisie.
Pour le caractère alterné, si $x_k=x_l$ avec $k<l$, seuls deux termes de la somme peuvent être non nuls : les comparer par antisymétrie.
Écrire $f=\lambda\det_{\mathcal B}$ et remarquer que $f\mapsto g_f$ est linéaire.
Calculer $g_{\det_{\mathcal B}}(e_1,\dots,e_n)$ en développant $u(e_i)=\sum_ka_{ki}e_k$ par linéarité.
- Multilinéarité. Fixons $i$. Le terme $f(x_1,\dots,u(x_i),\dots,x_n)$ est linéaire en $x_k$ pour $k\neq i$ (linéarité de $f$ en la $k$-ième variable) et linéaire en $x_i$ (composée de l'application linéaire $u$ et de la linéarité de $f$ en la $i$-ième variable). Une somme de formes $n$-linéaires est $n$-linéaire.
Caractère alterné. Si $n=1$, il n'y a rien à vérifier. Sinon, supposons $x_k=x_l=y$ avec $k<l$. Pour $i\notin\{k,l\}$, le $i$-ième terme contient $y$ en positions $k$ et $l$ : il est nul car $f$ est alternée. Restent $$T_k=f(\dots,\underbrace{u(y)}_{k},\dots,\underbrace{y}_{l},\dots),\qquad T_l=f(\dots,\underbrace{y}_{k},\dots,\underbrace{u(y)}_{l},\dots),$$ les autres positions étant identiques. $T_l$ s'obtient à partir de $T_k$ en échangeant les vecteurs des positions $k$ et $l$ ; par antisymétrie, $T_l=-T_k$. Donc $g_f(x_1,\dots,x_n)=0$ et $g_f\in\Lambda_n(E)$.
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Soit $\mathcal B$ une base de $E$. D'après la question 1 et le théorème de structure, $g_{\det_{\mathcal B}}=c\,\det_{\mathcal B}$ avec $c=g_{\det_{\mathcal B}}(\mathcal B)$. Toute $f\in\Lambda_n(E)$ s'écrit $f=\lambda\det_{\mathcal B}$, et la définition montre que $g_{\lambda h}=\lambda g_h$. Donc $g_f=\lambda\,c\det_{\mathcal B}=c\,f$ : le scalaire $c$ convient pour toute $f$. Unicité : si $c'$ convient aussi, on prend $f=\det_{\mathcal B}$ et on évalue en $\mathcal B$ : $c=c'\det_{\mathcal B}(\mathcal B)=c'$. Ce scalaire, caractérisé sans référence à une base, est noté $c(u)$.
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On a $c(u)=g_{\det_{\mathcal B}}(e_1,\dots,e_n)=\sum_{i=1}^n\det_{\mathcal B}(e_1,\dots,e_{i-1},u(e_i),e_{i+1},\dots,e_n)$. Avec $u(e_i)=\sum_{k=1}^na_{ki}e_k$ et la linéarité en la $i$-ième variable : $$\det\nolimits_{\mathcal B}(e_1,\dots,u(e_i),\dots,e_n)=\sum_{k=1}^na_{ki}\det\nolimits_{\mathcal B}(e_1,\dots,\underbrace{e_k}_{i},\dots,e_n).$$ Pour $k\neq i$, le vecteur $e_k$ apparaît deux fois (en position $i$ et en position $k$) : le terme est nul. Pour $k=i$, on obtient $\det_{\mathcal B}(\mathcal B)=1$. Le $i$-ième terme vaut donc $a_{ii}$ et $$c(u)=\sum_{i=1}^na_{ii}=\mathrm{tr}(A).$$
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Le scalaire $c(u)$ est défini de façon unique par la question 2, sans choix de base. La question 3 montre que $\mathrm{tr}(\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(u))=c(u)$ pour toute base $\mathcal B$ : cette trace ne dépend pas de $\mathcal B$. On peut donc définir $\mathrm{tr}(u)=c(u)$.
$g_f=\mathrm{tr}(u)\,f$, avec $\mathrm{tr}(u)=\mathrm{tr}(\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(u))$ indépendant de $\mathcal B$