Pour $n\geqslant1$, on note $D_n$ le déterminant de la matrice de taille $n$ ayant des $5$ sur la diagonale, des $2$ juste au-dessus et juste au-dessous de la diagonale, et des $0$ ailleurs. Par exemple, pour $n=4$ : $$D_4=\det\begin{pmatrix}5&2&0&0\\2&5&2&0\\0&2&5&2\\0&0&2&5\end{pmatrix}.$$
- Calculer $D_1$ et $D_2$.
- Montrer que $D_n=5D_{n-1}-4D_{n-2}$ pour tout $n\geqslant3$.
- En déduire $D_n$ en fonction de $n$.
Développer selon la première ligne, qui ne contient que deux coefficients non nuls.
Le mineur associé à la position $(1,2)$ a une première colonne très creuse : la développer à son tour.
L'équation caractéristique est $r^2-5r+4=0$.
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$D_1=5$ et $D_2=\det\begin{pmatrix}5&2\\2&5\end{pmatrix}=25-4=21$.
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Soit $n\geqslant3$ et $M_n$ la matrice de l'énoncé. On développe selon la première ligne, dont les seuls coefficients non nuls sont $5$ en position $(1,1)$ et $2$ en position $(1,2)$ : $$D_n=5\,\Delta_{11}-2\,\Delta_{12}.$$
- En supprimant la ligne $1$ et la colonne $1$, on obtient la matrice de même forme de taille $n-1$ : $\Delta_{11}=D_{n-1}$.
- En supprimant la ligne $1$ et la colonne $2$, on obtient une matrice dont la première colonne est formée des coefficients $m_{21},\dots,m_{n1}$ de $M_n$, soit $(2,0,\dots,0)^T$. En la développant selon cette colonne (signe $+$ en position $(1,1)$), on obtient $2$ fois le déterminant de la matrice formée des lignes et colonnes $3$ à $n$ de $M_n$, qui est la matrice de même forme de taille $n-2$. Donc $\Delta_{12}=2D_{n-2}$.
Ainsi $D_n=5D_{n-1}-4D_{n-2}$.
- La suite $(D_n)_{n\geqslant1}$ vérifie une récurrence linéaire d'ordre $2$ d'équation caractéristique $r^2-5r+4=0$, soit $(r-1)(r-4)=0$, de racines distinctes $1$ et $4$. Il existe donc $\alpha,\beta\in\mathbb R$ tels que $D_n=\alpha+\beta\,4^n$ pour tout $n\geqslant1$. Les conditions initiales donnent $$\begin{cases}\alpha+4\beta=5\\ \alpha+16\beta=21\end{cases}$$ d'où $12\beta=16$, $\beta=\frac43$ et $\alpha=5-\frac{16}3=-\frac13$. Donc $$D_n=\frac{4^{n+1}-1}{3}.$$ Contrôle : la récurrence donne $D_3=5\times21-4\times5=85$ et la formule $\frac{256-1}3=85$.
$D_n=\dfrac{4^{n+1}-1}{3}$