Calculer une comatriceUtiliser la formule A Com(A)^T = det(A) I_nExploiter la formule de l'inverse
Soit $$A=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}.$$
- Calculer $\det A$.
- Calculer $\mathrm{Com}(A)$, en déduire $A^{-1}$ et vérifier le résultat.
- Soit $M\in\mathcal M_n(\mathbb Z)$. Montrer que $M$ est inversible avec $M^{-1}\in\mathcal M_n(\mathbb Z)$ si et seulement si $\det M\in\{-1,1\}$.
Indice 1
Développer selon la première colonne, qui contient un zéro.
Indice 2
Chaque cofacteur vaut $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ : écrire le damier des signes avant de calculer les neuf mineurs. Ne pas oublier de transposer.
Indice 3
Pour le sens direct, le déterminant d'une matrice à coefficients entiers est un entier ; pour la réciproque, utiliser la comatrice.
🔒 Corrigé Premium
Crée un compte gratuit : 5 corrigés Premium offerts chaque semaine
Créer mon compte gratuit