Relation de la comatrice et inverse : énoncé (MPSI)
Relation de la comatrice et inverse
Pour tout $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ : $$A\,\mathrm{Com}(A)^T=\mathrm{Com}(A)^T\,A=\det(A)\,I_n.$$ En particulier, si $A$ est inversible : $$A^{-1}=\frac1{\det A}\,\mathrm{Com}(A)^T.$$
Démonstration : Relation de la comatrice et inverse
Démonstration
Le coefficient $(i,j)$ de $A\,\mathrm{Com}(A)^T$ est $\sum_{k=1}^na_{ik}(-1)^{j+k}\Delta_{jk}$.
- Si $i=j$, c'est le développement de $\det A$ selon la ligne $i$ : il vaut $\det A$.
- Si $i\neq j$, soit $A'$ la matrice obtenue en remplaçant la ligne $j$ de $A$ par la ligne $i$. Les mineurs $\Delta_{jk}$ ne font pas intervenir la ligne $j$, donc ce sont aussi ceux de $A'$, et la somme est le développement de $\det A'$ selon la ligne $j$. Or $A'$ a deux lignes égales : $\det A'=0$.
Donc $A\,\mathrm{Com}(A)^T=\det(A)I_n$. Le même raisonnement sur les colonnes donne $\mathrm{Com}(A)^TA=\det(A)I_n$. Si $\det A\neq0$, on divise par $\det A$.
Inverse d'une matrice 2 x 2
Pour $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ : $\Delta_{11}=d$, $\Delta_{12}=c$, $\Delta_{21}=b$, $\Delta_{22}=a$, donc $\mathrm{Com}(A)=\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}$. Si $ad-bc\neq0$ : $$A^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.$$
Portée pratique
Pour $n\geqslant3$, la formule de la comatrice n'est pas une bonne méthode de calcul numérique de l'inverse : on lui préfère la méthode de Gauss-Jordan. Son intérêt est théorique : elle montre par exemple que les coefficients de $A^{-1}$ sont des fractions rationnelles des coefficients de $A$, ou que si $A$ est à coefficients entiers et $\det A=\pm1$, alors $A^{-1}$ est à coefficients entiers.
S’entraîner
- Règles de calcul en taille 3
- Déterminant tridiagonal et récurrence linéaire d'ordre 2
- Inverse par la comatrice et matrices à coefficients entiers
- Matrices de permutation (type CCINP)
- Vandermonde généralisé et coefficients binomiaux (type CCINP)