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Prépa, 1re année › Déterminants › Bien utiliser le développement

Bien utiliser le développement : méthode (MPSI)

Méthode

Bien utiliser le développement

  1. On choisit la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros ; au besoin, on en crée d'abord par opérations élémentaires.
  2. On écrit chaque terme avec son signe $(-1)^{i+j}$, lu sur le damier.
  3. Pour un déterminant de taille $n$ dépendant de $n$, on développe selon une ligne ou une colonne bien choisie afin d'obtenir une relation de récurrence entre $D_n$, $D_{n-1}$, $D_{n-2}$, puis on résout la récurrence.
Exemple

Un déterminant tridiagonal

Soit $D_n$ le déterminant de la matrice de taille $n$ ayant des $2$ sur la diagonale, des $-1$ juste au-dessus et juste au-dessous, et des $0$ ailleurs. On a $D_1=2$ et $D_2=4-1=3$.

Pour $n\geqslant3$, on développe selon la première ligne, qui n'a que deux coefficients non nuls :

  • le coefficient $2$ en position $(1,1)$ donne $2D_{n-1}$ ;
  • le coefficient $-1$ en position $(1,2)$ donne $(-1)\times(-1)^{1+2}\Delta_{12}=\Delta_{12}$. La matrice $A_{12}$ a pour première colonne $(-1,0,\dots,0)^T$ ; en la développant selon cette colonne, $\Delta_{12}=-D_{n-2}$.

Donc $D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}$. L'équation caractéristique $r^2-2r+1=0$ a pour racine double $1$, donc $D_n=\alpha+\beta n$. Avec $D_1=2$ et $D_2=3$ : $\beta=1$, $\alpha=1$, et $$D_n=n+1.$$

S’entraîner

Dans le cours

Déterminants : Bien utiliser le développement