Intersection d'hyperplans : énoncé (MPSI)
Intersection d'hyperplans
Soit $E$ de dimension $n$, $F$ un sous-espace et $H$ un hyperplan. Alors $\dim(F \cap H) \geq \dim F - 1$. Par récurrence, l'intersection de $m$ hyperplans est de dimension au moins $n - m$.
Conséquence : l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène de $m$ équations à $n$ inconnues est un sous-espace de $\mathbb{K}^n$ de dimension au moins $n - m$. Si $m < n$, il admet une solution non nulle.
Démonstration : Intersection d'hyperplans
Preuve
Par Grassmann, $\dim(F \cap H) = \dim F + \dim H - \dim(F + H) \geq \dim F + (n-1) - n = \dim F - 1$, car $\dim(F + H) \leq n$.
Pour $H_1, \dots, H_m$, on montre par récurrence sur $k$ que $\dim(H_1 \cap \dots \cap H_k) \geq n - k$ : c'est vrai pour $k = 1$, et l'inégalité précédente appliquée à $F = H_1 \cap \dots \cap H_k$ et $H = H_{k+1}$ donne l'hérédité.
Chaque équation non triviale du système définit un hyperplan de $\mathbb{K}^n$ ; une équation identiquement nulle définit $\mathbb{K}^n$ tout entier, ce qui ne fait qu'améliorer la minoration.
Réciproque
Tout sous-espace de dimension $n - m$ d'un espace de dimension $n$ est l'intersection de $m$ hyperplans : on complète une base $(e_1, \dots, e_{n-m})$ du sous-espace en une base de $E$ et on prend les hyperplans « $x_j = 0$ » pour $j > n - m$. Ainsi un sous-espace de dimension $p$ de $\mathbb{K}^n$ se décrit par $n - p$ équations indépendantes.