Prépa, 1re année › Dimension finie › Montrer qu'une application linéaire est un isomorphisme
Montrer qu'une application linéaire est un isomorphisme : méthode (MPSI)
Méthode
Montrer qu'une application linéaire est un isomorphisme
- Vérifier la linéarité et que les espaces de départ et d'arrivée ont la même dimension finie.
- Montrer l'injectivité : prendre $x$ tel que $u(x) = 0$ et prouver $x = 0$.
- Conclure à la bijectivité par la caractérisation des isomorphismes. On obtient ainsi l'existence d'un antécédent sans le construire : c'est souvent le but de l'exercice.
Exemple
Interpolation de Lagrange
Soit $a_0, \dots, a_n$ des scalaires deux à deux distincts et $\varphi : \mathbb{K}_n[X] \to \mathbb{K}^{n+1}$, $P \mapsto (P(a_0), \dots, P(a_n))$.
- $\varphi$ est linéaire et $\dim \mathbb{K}_n[X] = n + 1 = \dim \mathbb{K}^{n+1}$.
- Si $\varphi(P) = 0$, $P$ est de degré au plus $n$ et possède $n+1$ racines distinctes : $P = 0$. Donc $\varphi$ est injective.
$\varphi$ est un isomorphisme : pour tous $b_0, \dots, b_n \in \mathbb{K}$, il existe un unique $P \in \mathbb{K}_n[X]$ tel que $P(a_i) = b_i$ pour tout $i$.
S’entraîner
- Une base de $\mathbb{R}^3$ et des coordonnées
- Une famille de polynômes trompeuse
- Noyau et image d'un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$
- Un supplémentaire dans $\mathbb{R}_3[X]$
- L'application $P \mapsto P + P'$
Dans le cours
Dimension finie : Montrer qu'une application linéaire est un isomorphisme