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Prépa, 1re année › Dimension finie › Caractérisation des isomorphismes

Caractérisation des isomorphismes : énoncé (MPSI)

Théorème

Caractérisation des isomorphismes

Soit $E$ et $F$ de dimension finie avec $\dim E = \dim F = n$, et $u \in \mathcal{L}(E,F)$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. $u$ est injective ;
  2. $u$ est surjective ;
  3. $u$ est bijective ;
  4. $\operatorname{rg} u = n$. C'est le cas en particulier pour un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ : $u \in GL(E) \iff \operatorname{Ker} u = \{0\} \iff \operatorname{Im} u = E$.
Démonstration : Caractérisation des isomorphismes
Démonstration

Preuve

Par le théorème du rang, $\operatorname{rg} u = n - \dim \operatorname{Ker} u$. Donc $u$ injective $\iff \dim \operatorname{Ker} u = 0 \iff \operatorname{rg} u = n$. Comme $\operatorname{Im} u \subset F$ et $\dim F = n$, on a $\operatorname{rg} u = n \iff \operatorname{Im} u = F \iff u$ surjective. Ainsi (1), (2), (4) sont équivalentes, et chacune équivaut à (3), qui est la conjonction de (1) et (2).

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Dans le cours

Dimension finie : Caractérisation des isomorphismes