Hyperplans en dimension finie : énoncé (MPSI)
Hyperplans en dimension finie
Soit $E$ de dimension $n \geq 1$. Un sous-espace $H$ de $E$ est un hyperplan (noyau d'une forme linéaire non nulle) si et seulement si $\dim H = n - 1$.
Si $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$, tout hyperplan admet une équation $a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0$ dans $\mathcal{B}$, avec $(a_1, \dots, a_n) \neq (0, \dots, 0)$, où $a_i = \varphi(e_i)$. Deux formes linéaires non nulles de même noyau sont proportionnelles.
Démonstration : Hyperplans en dimension finie
Preuve
Si $H = \operatorname{Ker} \varphi$ avec $\varphi \in E^*$ non nulle, $\operatorname{Im} \varphi$ est un sous-espace non nul de $\mathbb{K}$, donc égal à $\mathbb{K}$, et $\operatorname{rg} \varphi = 1$. Le théorème du rang donne $\dim H = n - 1$.
Réciproquement, si $\dim H = n-1$, on complète une base $(e_1, \dots, e_{n-1})$ de $H$ en une base $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$ et on définit $\varphi \in E^*$ par $\varphi(e_i) = 0$ pour $i < n$ et $\varphi(e_n) = 1$. Alors $\varphi \neq 0$, $H \subset \operatorname{Ker} \varphi$ et $\dim \operatorname{Ker} \varphi = n - 1 = \dim H$, donc $H = \operatorname{Ker} \varphi$.
Proportionnalité : si $H = \operatorname{Ker} \varphi = \operatorname{Ker} \psi$, soit $a \notin H$ ; alors $E = H \oplus \mathbb{K} a$ (dimensions $n-1$ et $1$, intersection nulle). La forme $\psi - \frac{\psi(a)}{\varphi(a)} \varphi$ est nulle sur $H$ et en $a$, donc sur $E$.
S’entraîner
- Base d'un sous-espace défini par des équations
- Une famille de polynômes trompeuse
- Formule de Grassmann dans $\mathbb{R}^4$
- Un supplémentaire dans $\mathbb{R}_3[X]$
- Rang d'une somme d'applications linéaires