Inverse à gauche ou à droite : énoncé (MPSI)
Inverse à gauche ou à droite
Soit $E$ de dimension finie et $u, v \in \mathcal{L}(E)$. Si $v \circ u = \mathrm{id}_E$, alors $u$ et $v$ sont des isomorphismes et $v = u^{-1}$. Il en va de même si $u \circ v = \mathrm{id}_E$.
Démonstration : Inverse à gauche ou à droite
Preuve
Si $v \circ u = \mathrm{id}_E$ et $u(x) = 0$, alors $x = v(u(x)) = v(0) = 0$ : $u$ est injective, donc bijective par la caractérisation des isomorphismes. Alors $v = v \circ (u \circ u^{-1}) = (v \circ u) \circ u^{-1} = u^{-1}$.
Si $u \circ v = \mathrm{id}_E$, on applique ce qui précède en échangeant $u$ et $v$ : $v$ est bijective et $u = v^{-1}$, donc $u$ est bijective et $v = u^{-1}$.
Faux en dimension infinie
Sur $\mathbb{K}[X]$, la dérivation $D : P \mapsto P'$ est surjective mais pas injective ($D(1) = 0$). L'application $I : P \mapsto$ l'unique primitive de $P$ nulle en $0$ est injective mais pas surjective (les constantes non nulles ne sont pas atteintes). On a $D \circ I = \mathrm{id}$ mais $I \circ D \neq \mathrm{id}$ car $I(D(1)) = 0$.
Avant d'utiliser « injective équivaut à surjective », vérifier : dimension finie et dimensions de départ et d'arrivée égales.
S’entraîner
- Une base de $\mathbb{R}^3$ et des coordonnées
- Base d'un sous-espace défini par des équations
- Rang d'une famille de $\mathbb{R}^4$ par échelonnement