Soit $F = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x + y + z + t = 0 \text{ et } x - y + 2z = 0\}$.
- Déterminer une base de $F$ et sa dimension. Vérifier la cohérence avec le résultat du cours sur les intersections d'hyperplans.
- Compléter cette base en une base de $\mathbb{R}^4$ à l'aide de vecteurs de la base canonique $(e_1, e_2, e_3, e_4)$.
Exprimer $x$ grâce à la seconde équation, puis $t$ grâce à la première : il reste deux paramètres libres.
Pour compléter, il suffit d'ajouter deux vecteurs de la base canonique qui rendent la famille libre, puisque $\dim \mathbb{R}^4 = 4$.
Essayer $e_1$ et $e_2$ et résoudre le système de liberté.
1. La seconde équation donne $x = y - 2z$. En reportant dans la première : $y - 2z + y + z + t = 0$, soit $t = -2y + z$. Ainsi $$(x,y,z,t) \in F \iff (x,y,z,t) = (y - 2z, \, y, \, z, \, -2y + z) = y\,(1,1,0,-2) + z\,(-2,0,1,1),$$ avec $y, z \in \mathbb{R}$ quelconques. On pose $f_1 = (1,1,0,-2)$ et $f_2 = (-2,0,1,1)$ : on a $F = \operatorname{Vect}(f_1, f_2)$.
Si $a f_1 + b f_2 = 0$, la deuxième coordonnée donne $a = 0$ et la troisième donne $b = 0$ : la famille $(f_1, f_2)$ est libre. C'est une base de $F$ et $\dim F = 2$.
Vérification : $1 + 1 + 0 - 2 = 0$ et $1 - 1 + 0 = 0$ pour $f_1$ ; $-2 + 0 + 1 + 1 = 0$ et $-2 - 0 + 2 = 0$ pour $f_2$.
Cohérence : $F$ est l'intersection de deux hyperplans de $\mathbb{R}^4$, donc $\dim F \geq 4 - 2 = 2$. Ici il y a égalité.
2. Comme $\dim \mathbb{R}^4 = 4$, il suffit de trouver deux vecteurs de la base canonique qui, ajoutés à $(f_1, f_2)$, donnent une famille libre de $4$ vecteurs. Essayons $e_1$ et $e_2$. Si $a f_1 + b f_2 + c e_1 + d e_2 = 0$, alors $$(a - 2b + c, \; a + d, \; b, \; -2a + b) = (0,0,0,0).$$ La troisième coordonnée donne $b = 0$, la quatrième $a = 0$, puis la première $c = 0$ et la deuxième $d = 0$.
La famille $(f_1, f_2, e_1, e_2)$ est libre et compte $4 = \dim \mathbb{R}^4$ vecteurs : c'est une base de $\mathbb{R}^4$.
$\dim F = 2$, base $((1,1,0,-2),(-2,0,1,1))$, complétée par $e_1, e_2$