Dimensions différentes : énoncé (MPSI)

Soit $u \in \mathcal{L}(E,F)$ avec $E$, $F$ de dimension finie.

• Si $u$ est injective, alors $\dim E \leq \dim F$.
• Si $u$ est surjective, alors $\dim E \geq \dim F$. Par contraposée : si $\dim E > \dim F$, $u$ n'est pas injective ; si $\dim E < \dim F$, $u$ n'est pas surjective. Cela découle de $\operatorname{rg} u = \dim E - \dim \operatorname{Ker} u$ et $\operatorname{rg} u \leq \dim F$.