Prépa, 1re année › Dimension finie › Formule de Grassmann
Formule de Grassmann : énoncé (MPSI)
Théorème
Formule de Grassmann
Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces de dimension finie d'un espace $E$. Alors $F + G$ est de dimension finie et $$\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G).$$
Démonstration : Formule de Grassmann
Démonstration
Preuve
$F \cap G$ est un sous-espace de $G$, qui est de dimension finie : il admet un supplémentaire $H$ dans $G$, avec $G = (F \cap G) \oplus H$ et $\dim H = \dim G - \dim(F \cap G)$.
Montrons que $F + G = F \oplus H$.
- $F \cap H = F \cap G \cap H$ car $H \subset G$, et $(F \cap G) \cap H = \{0\}$. Donc $F \cap H = \{0\}$.
- $F + H \subset F + G$ car $H \subset G$.
- Soit $x = f + g$ avec $f \in F$, $g \in G$. On écrit $g = k + h$ avec $k \in F \cap G$ et $h \in H$. Alors $x = (f + k) + h \in F + H$.
Ainsi $F + G = F \oplus H$ est de dimension finie et $$\dim(F + G) = \dim F + \dim H = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G).$$