Exercice corrigé : Formes d'évaluation et formule de quadrature

Soit $n \in \mathbb{N}$, $E = \mathbb{R}_n[X]$ et $a_0, \dots, a_n$ des réels deux à deux distincts. Pour $i \in \{0, \dots, n\}$, on note $\varphi_i : E \to \mathbb{R}$, $P \mapsto P(a_i)$.

1. Montrer que $(\varphi_0, \dots, \varphi_n)$ est une base de $E^*$.
2. En déduire qu'il existe des réels $w_0, \dots, w_n$, uniques, tels que pour tout $P \in E$ : $$\int_0^1 P(t)\,\mathrm{d}t = \sum_{i=0}^{n} w_i P(a_i).$$
3. Calculer $w_0, w_1, w_2$ lorsque $n = 2$ et $(a_0, a_1, a_2) = (0, \tfrac{1}{2}, 1)$.
4. Avec ces valeurs, vérifier que la formule reste exacte pour $P = X^3$, mais pas pour $P = X^4$.