Existence de supplémentaires : énoncé (MPSI)
Existence de supplémentaires
Soit $E$ de dimension finie $n$ et $F$ un sous-espace de dimension $p$. Alors $F$ admet au moins un supplémentaire dans $E$, et tout supplémentaire de $F$ est de dimension $n - p$.
Démonstration : Existence de supplémentaires
Preuve
Soit $(e_1, \dots, e_p)$ une base de $F$. On la complète en une base $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$ et on pose $G = \operatorname{Vect}(e_{p+1}, \dots, e_n)$. La famille $(e_{p+1}, \dots, e_n)$ est libre (sous-famille d'une famille libre), donc base de $G$, et la concaténation des bases de $F$ et $G$ est une base de $E$ : $E = F \oplus G$.
Si $G'$ est un supplémentaire quelconque de $F$, la propriété précédente donne $n = p + \dim G'$, donc $\dim G' = n - p$.
Supplémentaire n'est pas complémentaire
Un supplémentaire n'est pas unique : dans $\mathbb{R}^2$, toute droite distincte de $\mathbb{R}(1,0)$ est un supplémentaire de $\mathbb{R}(1,0)$. Seule sa dimension est imposée. Le complémentaire ensembliste $E \setminus F$ n'est jamais un sous-espace (il ne contient pas $0$).
S’entraîner
- Noyau et image d'un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$
- Formule de Grassmann dans $\mathbb{R}^4$
- Un supplémentaire dans $\mathbb{R}_3[X]$
- Étude d'un endomorphisme de $\mathbb{R}_2[X]$ (type CCINP)