Prépa, 1re année › Dimension finie › Caractérisation des supplémentaires par la dimension
Caractérisation des supplémentaires par la dimension : énoncé (MPSI)
Propriété
Caractérisation des supplémentaires par la dimension
Soit $E$ de dimension finie et $F$, $G$ deux sous-espaces. Les assertions suivantes sont équivalentes :
- $E = F \oplus G$ ;
- $F \cap G = \{0\}$ et $\dim F + \dim G = \dim E$ ;
- $F + G = E$ et $\dim F + \dim G = \dim E$.
Démonstration : Caractérisation des supplémentaires par la dimension
Démonstration
Preuve
(1) entraîne (2) et (3) d'après la propriété sur les bases adaptées.
(2) $\Rightarrow$ (1) : par Grassmann, $\dim(F+G) = \dim F + \dim G - 0 = \dim E$. Comme $F + G \subset E$, on obtient $F + G = E$, et la somme est directe car $F \cap G = \{0\}$.
(3) $\Rightarrow$ (1) : par Grassmann, $\dim(F \cap G) = \dim F + \dim G - \dim(F+G) = \dim E - \dim E = 0$, donc $F \cap G = \{0\}$.
S’entraîner
- Base d'un sous-espace défini par des équations
- Une famille de polynômes trompeuse
- Noyau et image d'un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$
- Formule de Grassmann dans $\mathbb{R}^4$
- Un supplémentaire dans $\mathbb{R}_3[X]$
Dans le cours
Dimension finie : Caractérisation des supplémentaires par la dimension