Caractérisation des bijections : énoncé (MPSI)
Caractérisation des bijections
Soit $f : E \to F$. Alors $f$ est bijective si et seulement s'il existe une application $g : F \to E$ telle que $$g \circ f = \mathrm{id}_E \quad \text{et} \quad f \circ g = \mathrm{id}_F.$$ Dans ce cas, $g$ est unique et $g = f^{-1}$. En particulier, $f^{-1}$ est bijective et $(f^{-1})^{-1} = f$.
Démonstration : Caractérisation des bijections
Démonstration
Sens direct. Si $f$ est bijective, $g = f^{-1}$ convient d'après la définition de la bijection réciproque.
Réciproque. Supposons qu'un tel $g$ existe.
- Injectivité : si $f(x) = f(x')$, alors $g(f(x)) = g(f(x'))$, c'est-à-dire $x = x'$ puisque $g \circ f = \mathrm{id}_E$.
- Surjectivité : soit $y \in F$. Posons $x = g(y) \in E$. Alors $f(x) = f(g(y)) = y$ puisque $f \circ g = \mathrm{id}_F$.
Donc $f$ est bijective.
Unicité. Si $g$ convient, pour tout $y \in F$ : $g(y) = (f^{-1} \circ f)(g(y)) = f^{-1}((f \circ g)(y)) = f^{-1}(y)$. Donc $g = f^{-1}$.
Enfin, les deux égalités $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_E$ et $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_F$ montrent, en échangeant les rôles, que $f^{-1}$ est bijective de réciproque $f$.
S’entraîner
- Éléments, parties, ensemble des parties
- Image directe et image réciproque par un trinôme
- Injective, surjective, bijective : trois cas