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Prépa, 1re année › Ensembles et applications › Composition et injectivité, surjectivité, bijectivité

Composition et injectivité, surjectivité, bijectivité : énoncé (MPSI)

Propriété

Composition et injectivité, surjectivité, bijectivité

Soit $f : E \to F$ et $g : F \to G$.

  1. Si $f$ et $g$ sont injectives, $g \circ f$ est injective.
  2. Si $f$ et $g$ sont surjectives, $g \circ f$ est surjective.
  3. Si $f$ et $g$ sont bijectives, $g \circ f$ est bijective et $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$.
  4. Si $g \circ f$ est injective, alors $f$ est injective.
  5. Si $g \circ f$ est surjective, alors $g$ est surjective.
Démonstration : Composition et injectivité, surjectivité, bijectivité
Démonstration

Démonstration

1. Soit $x, x' \in E$ tels que $g(f(x)) = g(f(x'))$. Comme $g$ est injective, $f(x) = f(x')$ ; comme $f$ est injective, $x = x'$.

2. Soit $z \in G$. Comme $g$ est surjective, il existe $y \in F$ tel que $z = g(y)$. Comme $f$ est surjective, il existe $x \in E$ tel que $y = f(x)$. Alors $z = g(f(x))$.

3. Par 1 et 2, $g \circ f$ est bijective. De plus, par associativité : $$(f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) = f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) \circ f = f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_E,$$ et de même $(g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) = \mathrm{id}_G$. Par le théorème de caractérisation, $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$.

4. Soit $x, x' \in E$ tels que $f(x) = f(x')$. Alors $g(f(x)) = g(f(x'))$, donc $x = x'$ par injectivité de $g \circ f$.

5. Soit $z \in G$. Il existe $x \in E$ tel que $z = g(f(x))$. Alors $y = f(x) \in F$ vérifie $g(y) = z$.

Remarque

Application aux exemples $g$ et $h$

Avec $h \circ g = \mathrm{id}_{\mathbb{N}}$, qui est bijective, les points 4 et 5 redonnent : $g$ est injective et $h$ est surjective. Ils ne disent rien de plus, et en effet ni $g$ ni $h$ n'est bijective.

Une application $f : E \to E$ telle que $f \circ f = \mathrm{id}_E$ est appelée involution ; d'après le théorème, elle est bijective et $f^{-1} = f$. Exemple : $\mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(E),\ A \mapsto \overline{A}$.

Attention

La notation $f^{-1}$

  • $f^{-1}(B)$ (image réciproque d'une partie) existe pour toute application $f$.
  • $f^{-1}(y)$ (image d'un élément par la bijection réciproque) n'a de sens que si $f$ est bijective.

Lorsque $f$ est bijective, les deux lectures de $f^{-1}(B)$ coïncident : pour $x \in E$, $f(x) \in B \iff x = f^{-1}(y)$ pour un $y \in B$. L'image réciproque de $B$ par $f$ est donc l'image directe de $B$ par $f^{-1}$, et la notation n'est pas ambiguë. Pour $f$ non bijective, on n'écrit jamais $f^{-1}(y)$ ; on écrit $f^{-1}(\{y\})$, ensemble des antécédents de $y$.

S’entraîner

Dans le cours

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