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Étudier l'injectivité, la surjectivité, la bijectivité : méthode (MPSI)

Méthode

Étudier l'injectivité, la surjectivité, la bijectivité

Injectivité : on écrit « Soit $x, x' \in E$ tels que $f(x) = f(x')$ » et on montre $x = x'$.
Non-injectivité : on exhibe $x \neq x'$ tels que $f(x) = f(x')$ (négation : $\exists (x, x') \in E^2,\ f(x) = f(x') \text{ et } x \neq x'$).
Surjectivité : on écrit « Soit $y \in F$ » et on construit $x \in E$ tel que $f(x) = y$, souvent en résolvant l'équation au brouillon puis en vérifiant que la solution est bien dans $E$.
Non-surjectivité : on exhibe un $y \in F$ sans antécédent.
Bijectivité : on montre que pour tout $y \in F$, l'équation $f(x) = y$ d'inconnue $x \in E$ admet une unique solution. L'expression de cette solution en fonction de $y$ donne $f^{-1}(y)$.

Exemple

Importance des ensembles de départ et d'arrivée

La même formule $x \mapsto x^2$ donne des applications de natures différentes :

Application	injective	surjective
$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$	non : $f(-1) = f(1)$	non : $-1$ n'a pas d'antécédent
$\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+$	non	oui : $y = (\sqrt{y})^2$
$\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$	oui	non
$\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$	oui	oui

Pour $\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$ : si $x, x' \geq 0$ et $x^2 = x'^2$, alors $(x - x')(x + x') = 0$ ; si $x + x' = 0$, alors $x = x' = 0$ ; sinon $x = x'$. Dans tous les cas $x = x'$.

Exemple

Une bijection de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$

Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\ (x, y) \mapsto (x + y,\ x - y)$. Soit $(a, b) \in \mathbb{R}^2$. On résout $$\begin{cases} x + y = a \\ x - y = b \end{cases} \iff \begin{cases} x = \dfrac{a + b}{2} \\ y = \dfrac{a - b}{2} \end{cases}$$ (somme et différence des deux lignes, opérations réversibles). Le système a une unique solution pour tout $(a, b)$, donc $f$ est bijective et $$f^{-1}(a, b) = \left(\frac{a + b}{2},\ \frac{a - b}{2}\right).$$ Vérification : $f\left(\frac{a+b}{2}, \frac{a-b}{2}\right) = (a, b)$.

Exemple

Injective sans être surjective, et inversement

Soit $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N},\ n \mapsto 2n$ et $h : \mathbb{N} \to \mathbb{N},\ n \mapsto \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor$.

$g$ est injective : $2n = 2n' \Rightarrow n = n'$. Elle n'est pas surjective : $1$ est impair, donc n'a pas d'antécédent.
$h$ est surjective : pour $m \in \mathbb{N}$, $h(2m) = m$. Elle n'est pas injective : $h(0) = h(1) = 0$.
Pour tout $n$, $h(g(n)) = \lfloor n \rfloor = n$, donc $h \circ g = \mathrm{id}_{\mathbb{N}}$. En revanche $g(h(1)) = 0 \neq 1$, donc $g \circ h \neq \mathrm{id}_{\mathbb{N}}$.

Sur un ensemble infini, une injection de $E$ dans $E$ n'est donc pas forcément une bijection.

S’entraîner

Dans le cours

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