Soit $E = \{1, 2, 3\}$.
- Écrire $\mathcal{P}(E)$ en extension. Combien a-t-il d'éléments ?
- Dire si chaque assertion est vraie ou fausse, en justifiant.
- (i) $1 \in E$ ; (ii) $\{1\} \in E$ ; (iii) $\{1\} \subset E$ ; (iv) $\{1\} \in \mathcal{P}(E)$ ; (v) $\varnothing \in E$ ;
- (vi) $\varnothing \subset E$ ; (vii) $\varnothing \in \mathcal{P}(E)$ ; (viii) $\{\varnothing\} \subset \mathcal{P}(E)$ ; (ix) $E \in \mathcal{P}(E)$ ; (x) $\{1, 2\} \subset \mathcal{P}(E)$.
- Soit $F = \{1, \{1\}\}$. Écrire $\mathcal{P}(F)$. A-t-on $\{1\} \in F$ ? A-t-on $\{1\} \subset F$ ?
Classer les parties de $E$ selon leur nombre d'éléments : 0, 1, 2 ou 3.
Pour $X \in \mathcal{P}(E)$, il faut que $X$ soit une partie de $E$ ; pour $X \subset \mathcal{P}(E)$, il faut que chaque élément de $X$ soit une partie de $E$.
L'ensemble $F$ a deux éléments : le nombre $1$ et l'ensemble $\{1\}$.
1. Les parties de $E$ sont la partie vide, les trois singletons, les trois paires et $E$ lui-même : $$\mathcal{P}(E) = \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\}.$$ Il a $8 = 2^3$ éléments.
2.
- (i) Vrai : $1$ est un des éléments listés de $E$.
- (ii) Faux : les éléments de $E$ sont les nombres $1, 2, 3$ ; l'ensemble $\{1\}$ n'en fait pas partie.
- (iii) Vrai : le seul élément de $\{1\}$ est $1$, qui appartient à $E$.
- (iv) Vrai : c'est la traduction de (iii), car $X \in \mathcal{P}(E) \iff X \subset E$.
- (v) Faux : $\varnothing$ n'est pas l'un des nombres $1, 2, 3$.
- (vi) Vrai : l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble.
- (vii) Vrai : traduction de (vi).
- (viii) Vrai : le seul élément de $\{\varnothing\}$ est $\varnothing$, et $\varnothing \in \mathcal{P}(E)$ par (vii).
- (ix) Vrai : $E \subset E$.
- (x) Faux : il faudrait $1 \in \mathcal{P}(E)$, c'est-à-dire que $1$ soit une partie de $E$ ; or $1$ est un nombre, pas une partie de $E$.
3. $F$ a deux éléments distincts, $a = 1$ et $b = \{1\}$. Ses parties sont $\varnothing$, $\{a\}$, $\{b\}$, $\{a, b\}$ : $$\mathcal{P}(F) = \{\varnothing, \{1\}, \{\{1\}\}, \{1, \{1\}\}\}.$$ On a $\{1\} \in F$, car $\{1\}$ est le second élément de $F$. On a aussi $\{1\} \subset F$, car $1 \in F$. Les deux assertions sont vraies ici : le cours dit que $\{a\} \in E$ est faux « en général », pas toujours. Il faut toujours revenir à la liste des éléments.
$\mathcal{P}(E)$ a 8 éléments ; vraies : (i), (iii), (iv), (vi), (vii), (viii), (ix) ; pour $F$ : $\{1\} \in F$ et $\{1\} \subset F$