Exercice corrigé : Image directe et image réciproque par un trinôme

1. $f(x) = (x - 1)^2 - 1$. La fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty, 1]$, croissante sur $[1, +\infty[$, de minimum $f(1) = -1$.

2. Soit $x \in [0, 3]$. Alors $x - 1 \in [-1, 2]$, donc $(x-1)^2 \in [0, 4]$ et $f(x) \in [-1, 3]$. Ainsi $f([0,3]) \subset [-1, 3]$. Réciproquement, soit $y \in [-1, 3]$. Posons $x = 1 + \sqrt{y + 1}$. Comme $y + 1 \in [0, 4]$, $\sqrt{y+1} \in [0, 2]$, donc $x \in [1, 3] \subset [0, 3]$, et $f(x) = (y + 1) - 1 = y$. Donc $y \in f([0, 3])$. Conclusion : $f([0, 3]) = [-1, 3]$.

3. Pour $x \in \mathbb{R}$ : $$x \in f^{-1}([0,3]) \iff 0 \leq (x-1)^2 - 1 \leq 3 \iff 1 \leq (x-1)^2 \leq 4 \iff 1 \leq |x - 1| \leq 2.$$ Cela équivaut à $x - 1 \in [-2, -1] \cup [1, 2]$, soit $x \in [-1, 0] \cup [2, 3]$. Donc $f^{-1}([0,3]) = [-1, 0] \cup [2, 3]$.

4. $f(x) = -1 \iff (x-1)^2 = 0 \iff x = 1$, donc $f^{-1}(\{-1\}) = \{1\}$. Pour tout $x$, $f(x) \geq -1 > -2$, donc aucun réel n'a son image dans $]-\infty, -2]$ : $f^{-1}(]-\infty, -2]) = \varnothing$.

5. Par la question 2, $f^{-1}(f([0,3])) = f^{-1}([-1, 3])$. Or $-1 \leq (x-1)^2 - 1 \leq 3 \iff (x-1)^2 \leq 4 \iff |x - 1| \leq 2 \iff x \in [-1, 3]$. Donc $f^{-1}(f([0,3])) = [-1, 3]$, qui contient strictement $[0, 3]$ : par exemple $-1 \notin [0,3]$ mais $f(-1) = 3 = f(3)$. On a bien l'inclusion générale $A \subset f^{-1}(f(A))$, stricte ici car $f$ n'est pas injective.

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