Problème de Cauchy (second ordre) : énoncé (MPSI)
Problème de Cauchy (second ordre)
Soient $a,b\in\mathbb{K}$, $f : I\to\mathbb{K}$ continue, $x_0\in I$ et $(y_0,y_1)\in\mathbb{K}^2$. Il existe une unique solution $y$ de $y''+ay'+by=f(x)$ sur $I$ vérifiant $$y(x_0)=y_0\quad\text{et}\quad y'(x_0)=y_1.$$ Ce théorème est admis par le programme. En pratique, on écrit la solution générale $y_p+y_h$ et on détermine les deux constantes à l'aide des deux conditions.
Idée d'une preuve (hors programme)
Si $r_1,r_2$ sont les racines de $\chi$, on vérifie que $y''+ay'+by=(y'-r_2y)'-r_1(y'-r_2y)$. Poser $z=y'-r_2y$ ramène l'équation à deux équations du premier ordre successives : $z'-r_1z=f$ puis $y'-r_2y=z$. Les résultats de la section 3 donnent alors l'existence et l'unicité.
S’entraîner
- Équations homogènes du premier ordre
- Coefficient constant, second membre polynomial ou exponentiel
- Les trois cas de l'équation caractéristique
- Superposition de deux exponentielles
- Variation de la constante
Dans le cours
Équations différentielles linéaires : Problème de Cauchy (second ordre)