Prépa, 1re année › Équations différentielles linéaires › Second membre exponentielle-polynôme

Second membre exponentielle-polynôme : énoncé (MPSI)

Propriété

Second membre exponentielle-polynôme

Soient $\mu\in\mathbb{C}$ et $P$ un polynôme. L'équation $y''+ay'+by=P(x)e^{\mu x}$ admet une solution particulière de la forme $y_p(x)=Q(x)e^{\mu x}$ avec $Q$ polynôme et :

Situation de $\mu$	Forme de $Q$
$\chi(\mu)\neq0$	$\deg Q=\deg P$
$\mu$ racine simple de $\chi$	$Q(x)=x\,R(x)$, $\deg R=\deg P$
$\mu$ racine double de $\chi$	$Q(x)=x^2R(x)$, $\deg R=\deg P$

Cas particulier $P=A$ constant :

si $\chi(\mu)\neq0$ : $y_p(x)=\dfrac{A}{\chi(\mu)}e^{\mu x}$ ;
si $\mu$ racine simple : $y_p(x)=\dfrac{A}{\chi'(\mu)}\,x\,e^{\mu x}$ ;
si $\mu$ racine double : $y_p(x)=\dfrac{A}{2}\,x^2e^{\mu x}$.

Démonstration : Second membre exponentielle-polynôme

Démonstration

Justification du calcul

Posons $y=Qe^{\mu x}$. Alors $y'=(Q'+\mu Q)e^{\mu x}$ et $y''=(Q''+2\mu Q'+\mu^2Q)e^{\mu x}$, donc $$y''+ay'+by=\big(Q''+(2\mu+a)Q'+(\mu^2+a\mu+b)Q\big)e^{\mu x}=\big(Q''+\chi'(\mu)Q'+\chi(\mu)Q\big)e^{\mu x}.$$ L'équation équivaut à $Q''+\chi'(\mu)Q'+\chi(\mu)Q=P$.

Si $\chi(\mu)\neq0$, le membre de gauche a le même degré que $Q$ : on cherche $Q$ de degré $\deg P$.
Si $\mu$ est racine simple, $\chi(\mu)=0$ et $\chi'(\mu)\neq0$ : l'équation devient $Q''+\chi'(\mu)Q'=P$, qui porte sur $Q'$, de degré $\deg P$. Le terme constant de $Q$ est inutile : on prend $Q=xR$.
Si $\mu$ est racine double, $\chi(\mu)=\chi'(\mu)=0$ : l'équation devient $Q''=P$, on prend $Q$ primitive seconde de $P$ sans terme de degré $0$ ni $1$, soit $Q=x^2R$.

Pour $P=A$ constant, on obtient directement $Q=\dfrac{A}{\chi(\mu)}$, puis $Q=cx$ avec $\chi'(\mu)c=A$, puis $Q=cx^2$ avec $2c=A$. L'existence de $Q$ dans le cas d'un polynôme quelconque se justifie par un argument d'algèbre linéaire (application injective d'un espace de polynômes de dimension finie dans lui-même) ; en pratique, on la constate en identifiant les coefficients.

Exemple

Exponentielle, cas non résonant puis résonant

Ici $\chi(r)=r^2-3r+2$, de racines $1$ et $2$, et $\chi'(r)=2r-3$.

a) $y''-3y'+2y=e^{3x}$ : $\chi(3)=2\neq0$, donc $y_p=\dfrac{e^{3x}}{2}$.

b) $y''-3y'+2y=e^{x}$ : $1$ est racine simple, $\chi'(1)=-1$, donc $y_p=-xe^{x}$. Vérification : $y_p'=-(1+x)e^x$, $y_p''=-(2+x)e^x$, et $y_p''-3y_p'+2y_p=\big(-2-x+3+3x-2x\big)e^x=e^x$.

c) $y''+2y'+y=e^{-x}$ : $-1$ est racine double, donc $y_p=\dfrac{x^2}{2}e^{-x}$.

Exemple

Polynôme et exponentielle-polynôme

a) $y''+y=x^2$. Ici $\mu=0$ et $\chi(0)=1\neq0$ : on cherche $Q=\alpha x^2+\beta x+\gamma$. Alors $Q''+Q=\alpha x^2+\beta x+(2\alpha+\gamma)=x^2$, d'où $\alpha=1$, $\beta=0$, $\gamma=-2$. Solutions réelles : $y=\lambda\cos x+\mu\sin x+x^2-2$.

b) $y''-y=xe^{x}$. Ici $\chi(r)=r^2-1$, $\mu=1$ racine simple, $\chi'(1)=2$. L'équation sur $Q$ est $Q''+2Q'=x$. On cherche $Q=x(\alpha x+\beta)=\alpha x^2+\beta x$ : $2\alpha+4\alpha x+2\beta=x$, d'où $\alpha=\dfrac14$ et $\beta=-\dfrac14$. Donc $$y_p(x)=\frac{x^2-x}{4}e^{x},\qquad y=\lambda e^{x}+\mu e^{-x}+\frac{x^2-x}{4}e^{x}.$$

S’entraîner

Dans le cours

Équations différentielles linéaires : Second membre exponentielle-polynôme