Second membre trigonométrique : méthode (MPSI)
Second membre trigonométrique
Pour $y''+ay'+by=B\cos(\omega x)$ ou $B\sin(\omega x)$, avec $a,b,B,\omega$ réels :
- On résout $z''+az'+bz=Be^{i\omega x}$ par la méthode exponentielle (avec $\mu=i\omega$).
- On prend $y_p=\mathrm{Re}(z_p)$ pour le cosinus, $y_p=\mathrm{Im}(z_p)$ pour le sinus.
Cela fonctionne car, $a$ et $b$ étant réels, les parties réelle et imaginaire commutent avec l'opérateur $y\mapsto y''+ay'+by$. Le même procédé s'applique à $Be^{\alpha x}\cos(\omega x)$ en utilisant $Be^{(\alpha+i\omega)x}$.
Autre approche : chercher directement $y_p=\alpha\cos(\omega x)+\beta\sin(\omega x)$ (multiplié par $x$ si $i\omega$ est racine de $\chi$). Les deux termes sont nécessaires en général.
Cosinus non résonant
$y''+2y'+5y=10\cos x$. On résout avec $10e^{ix}$ : $\chi(i)=-1+2i+5=4+2i\neq0$, donc $$z_p=\frac{10}{4+2i}e^{ix}=\frac{10(4-2i)}{20}e^{ix}=(2-i)e^{ix}.$$ Alors $y_p=\mathrm{Re}\big((2-i)(\cos x+i\sin x)\big)=2\cos x+\sin x$.
Vérification : $y_p'=-2\sin x+\cos x$, $y_p''=-2\cos x-\sin x$, et $y_p''+2y_p'+5y_p=(-2+2+10)\cos x+(-1-4+5)\sin x=10\cos x$.
Solutions : $y=e^{-x}(\lambda\cos 2x+\mu\sin 2x)+2\cos x+\sin x$.
Sinus résonant
$y''+4y=\sin(2x)$. On résout avec $e^{2ix}$ : $2i$ est racine simple de $\chi(r)=r^2+4$, et $\chi'(2i)=4i$. Donc $$z_p=\frac{x\,e^{2ix}}{4i}=-\frac{i}{4}x\,e^{2ix}=\frac{x}{4}\big(\sin 2x-i\cos 2x\big).$$ On prend la partie imaginaire : $y_p(x)=-\dfrac{x}{4}\cos(2x)$.
Vérification : $y_p'=-\dfrac14\cos 2x+\dfrac x2\sin 2x$, $y_p''=\sin 2x+x\cos 2x$, donc $y_p''+4y_p=\sin 2x$. L'amplitude croît avec $x$ : c'est le phénomène de résonance.
Un problème de Cauchy complet
Résolvons $y''-3y'+2y=e^{3x}$ avec $y(0)=0$ et $y'(0)=0$.
Solution générale : $y=\lambda e^x+\mu e^{2x}+\dfrac{e^{3x}}{2}$, donc $y'=\lambda e^x+2\mu e^{2x}+\dfrac{3e^{3x}}{2}$.
Conditions : $$\begin{cases}\lambda+\mu+\frac12=0\\ \lambda+2\mu+\frac32=0\end{cases}$$ Par différence, $\mu=-1$, puis $\lambda=\dfrac12$. L'unique solution est $$y(x)=\frac{e^x}{2}-e^{2x}+\frac{e^{3x}}{2}=\frac{e^x(e^x-1)^2}{2}.$$
S’entraîner
- Coefficient constant, second membre polynomial ou exponentiel
- Les trois cas de l'équation caractéristique
- Superposition de deux exponentielles
- Second membre cosinus et conditions initiales
- Résonance et superposition
Dans le cours
Équations différentielles linéaires : Second membre trigonométrique