Produit scalaire : définition (MPSI)
Produit scalaire
Un produit scalaire sur $E$ est une application $\varphi : E\times E\to\mathbb{R}$, notée $(x,y)\mapsto\langle x,y\rangle$, qui est :
- bilinéaire : pour tout $y$, $x\mapsto\langle x,y\rangle$ est linéaire, et pour tout $x$, $y\mapsto\langle x,y\rangle$ est linéaire ;
- symétrique : $\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle$ pour tous $x,y$ ;
- positive : $\langle x,x\rangle\geqslant 0$ pour tout $x$ ;
- définie : $\langle x,x\rangle=0\implies x=0$.
Un espace préhilbertien réel est un couple $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$. S'il est de dimension finie, on parle d'espace euclidien.
Notations usuelles : $\langle x,y\rangle$, $(x\mid y)$, $x\cdot y$.
Symétrie et bilinéarité
Si $\varphi$ est symétrique, il suffit de vérifier la linéarité par rapport à une seule variable : la linéarité par rapport à l'autre s'en déduit par symétrie. Par bilinéarité, $\langle 0,y\rangle=0$ pour tout $y$.
Produits scalaires de référence
Ces produits scalaires sont dits canoniques ou usuels.
- Sur $\mathbb{R}^n$ : $\langle x,y\rangle=\displaystyle\sum_{i=1}^n x_iy_i$. Matriciellement, $\langle X,Y\rangle=X^\top Y$ pour des colonnes $X,Y$.
- Sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ : $\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^\top B)=\displaystyle\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}a_{ij}b_{ij}$.
- Sur $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ avec $a<b$ : $\langle f,g\rangle=\displaystyle\int_a^b f(t)g(t)\,\mathrm{d}t$.
Pour la trace : le coefficient diagonal d'indice $(j,j)$ de $A^\top B$ vaut $\sum_i a_{ij}b_{ij}$, d'où la seconde écriture. On reconnaît le produit scalaire canonique de $\mathbb{R}^{n^2}$ appliqué aux coefficients.
S’entraîner
- Un produit scalaire non canonique sur $\mathbb{R}^2$
- Gram-Schmidt dans $\mathbb{R}^3$
- Orthogonal d'un plan de $\mathbb{R}^4$
- Projection sur une droite et sur un plan
- Base orthonormée de $\mathbb{R}_2[X]$ pour l'intégrale sur $[0,1]$