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Prépa, 1re année › Espaces préhilbertiens réels › Montrer qu'une application est un produit scalaire

Montrer qu'une application est un produit scalaire : méthode (MPSI)

Méthode

Montrer qu'une application est un produit scalaire

  1. Vérifier que $\varphi$ est bien à valeurs réelles et bien définie (intégrale qui existe, etc.).
  2. Vérifier la symétrie.
  3. Vérifier la linéarité à gauche (ou à droite) ; la bilinéarité suit par symétrie.
  4. Vérifier la positivité : $\varphi(x,x)$ s'écrit souvent comme une somme de carrés ou l'intégrale d'un carré.
  5. Vérifier le caractère défini : supposer $\varphi(x,x)=0$ et en déduire $x=0$. C'est l'étape qui demande un vrai argument :
    • somme de carrés nulle : chaque carré est nul ;
    • intégrale nulle d'une fonction continue et positive sur $[a,b]$ : la fonction est nulle sur $[a,b]$ ;
    • polynôme qui s'annule en une infinité de points (ou en plus de points que son degré) : il est nul.
Exemple

Un produit scalaire sur les polynômes

Sur $\mathbb{R}[X]$, on pose $\langle P,Q\rangle=\displaystyle\int_0^1 P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t$.

  • Symétrie : évidente.
  • Linéarité à gauche : par linéarité de l'intégrale, $\langle \lambda P_1+P_2,Q\rangle=\lambda\langle P_1,Q\rangle+\langle P_2,Q\rangle$.
  • Positivité : $\langle P,P\rangle=\int_0^1 P(t)^2\,\mathrm{d}t\geqslant 0$.
  • Défini : si $\int_0^1P(t)^2\,\mathrm{d}t=0$, la fonction $t\mapsto P(t)^2$ est continue, positive, d'intégrale nulle sur $[0,1]$, donc nulle sur $[0,1]$. Le polynôme $P$ a alors une infinité de racines, donc $P=0$.

C'est donc un produit scalaire.

Attention

Le caractère défini peut échouer

Sur $\mathbb{R}[X]$, l'application $\varphi(P,Q)=P(0)Q(0)+P(1)Q(1)$ est bilinéaire, symétrique, positive, mais pas définie : pour $P=X(X-1)$, $\varphi(P,P)=0$ alors que $P\neq 0$.

En revanche, sur $\mathbb{R}_1[X]$, la même formule définit un produit scalaire : si $P(0)^2+P(1)^2=0$, alors $P$ de degré au plus $1$ a deux racines, donc $P=0$. Le caractère défini dépend de l'espace.

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Dans le cours

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