Soit $F=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x+y-z=0 \text{ et } y+t=0\}$.
- Écrire $F$ sous la forme $\mathrm{Vect}(u,v)$ avec $u,v\in\mathbb{R}^4$ explicites.
- Montrer que $(u,v)$ est une base de $F$.
- Vérifier que $w=(3,-1,2,1)$ appartient à $F$ et donner ses coordonnées dans la base $(u,v)$.
Choisir $z$ et $t$ comme inconnues libres.
Pour la liberté, regarder les coordonnées où l'un des deux vecteurs a un $0$ et l'autre un $1$.
1. On résout le système. La seconde équation donne $y=-t$, puis la première $x=z-y=z+t$. Donc
$$(x,y,z,t)\in F\iff (x,y,z,t)=(z+t,\,-t,\,z,\,t)=z(1,0,1,0)+t(1,-1,0,1).$$
Avec $u=(1,0,1,0)$ et $v=(1,-1,0,1)$, on a $F=\mathrm{Vect}(u,v)$. En particulier $F$ est un sev de $\mathbb{R}^4$.
2. La famille $(u,v)$ est génératrice de $F$ d'après la question 1. Supposons $au+bv=0$, soit $(a+b,\,-b,\,a,\,b)=(0,0,0,0)$. La troisième coordonnée donne $a=0$, la quatrième $b=0$. La famille est libre. C'est donc une base de $F$.
3. $3+(-1)-2=0$ et $-1+1=0$ : $w\in F$. D'après la question 1, $w=zu+tv$ avec $z=2$ et $t=1$. Contrôle : $2(1,0,1,0)+(1,-1,0,1)=(3,-1,2,1)$. Les coordonnées de $w$ dans $(u,v)$ sont $(2,1)$.
$F=\mathrm{Vect}\big((1,0,1,0),(1,-1,0,1)\big)$ ; coordonnées de $w$ : $(2,1)$.