Reconnaître un projecteurDéterminer ses éléments caractéristiquesConstruire la symétrie associée
Soit $p:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ définie par $p(x,y,z)=(x+z,\ y-z,\ 0)$.
- Montrer que $p$ est un projecteur.
- Déterminer $\operatorname{Im} p$ et $\ker p$. Préciser la nature géométrique de $p$.
- Donner l'expression de la symétrie $s$ par rapport à $\operatorname{Im} p$ parallèlement à $\ker p$, et vérifier que $s\circ s=\mathrm{id}$.
Indice 1
Calculer $p(x+z,y-z,0)$.
Indice 2
Utiliser $\operatorname{Im} p=\{u\mid p(u)=u\}$.
Indice 3
$s=2p-\mathrm{id}$.
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