Dérivées de composées : énoncé (MPSI)

Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$ :

• $(\arctan u)' = \dfrac{u'}{1 + u^2}$ sur $I$ ;
• si de plus $u(I) \subset ]-1, 1[$ : $(\arcsin u)' = \dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$ et $(\arccos u)' = -\dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$.

Exemple : pour tout réel $x$, $\left(\arctan(e^x)\right)' = \dfrac{e^x}{1 + e^{2x}}$.