Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $$f(x) = \arctan\frac{1 + x}{1 - x} - \arctan x.$$
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Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ et calculer $f'$.
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En déduire une expression simple de $\arctan\frac{1 + x}{1 - x}$ en fonction de $\arctan x$, pour $x < 1$ puis pour $x > 1$.
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Vérifier le résultat pour $x = \sqrt{3}$.
Poser $u(x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ et calculer séparément $u'(x)$ et $1 + u(x)^2$.
$\mathbb{R}\setminus\{1\}$ n'est pas un intervalle : la constante peut changer.
Sur $]1, +\infty[$, aucune valeur simple n'est évidente : utiliser la limite en $+\infty$.
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Soit $u(x) = \frac{1 + x}{1 - x}$, dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$, et $\arctan$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$. On a $$u'(x) = \frac{(1 - x) + (1 + x)}{(1 - x)^2} = \frac{2}{(1 - x)^2},\qquad 1 + u(x)^2 = \frac{(1 - x)^2 + (1 + x)^2}{(1 - x)^2} = \frac{2(1 + x^2)}{(1 - x)^2}.$$ Donc $(\arctan u)'(x) = \frac{u'(x)}{1 + u(x)^2} = \frac{1}{1 + x^2}$ et $f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x^2} = 0$.
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$f'$ est nulle sur chacun des intervalles $]-\infty, 1[$ et $]1, +\infty[$ ; $f$ est constante sur chacun d'eux, avec a priori deux constantes différentes.
Sur $]-\infty, 1[$ : $f(0) = \arctan 1 - 0 = \frac{\pi}{4}$. Donc pour $x < 1$, $\arctan\frac{1 + x}{1 - x} = \frac{\pi}{4} + \arctan x$.
Sur $]1, +\infty[$ : $f$ est égale à une constante $C$. Quand $x \to +\infty$, $u(x) = \frac{1/x + 1}{1/x - 1} \to -1$, donc par continuité de $\arctan$, $\arctan u(x) \to -\frac{\pi}{4}$, et $\arctan x \to \frac{\pi}{2}$. Une fonction constante a pour limite sa valeur, donc $C = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{4}$. Pour $x > 1$ : $\arctan\frac{1 + x}{1 - x} = \arctan x - \frac{3\pi}{4}$.
- Pour $x = \sqrt{3} > 1$ : $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{1 - 3} = -\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = -(2 + \sqrt{3})$. D'après la question 2, $\arctan\big(-(2 + \sqrt{3})\big) = \frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{5\pi}{12}$, soit $\arctan(2 + \sqrt{3}) = \frac{5\pi}{12}$. Or $\tan\frac{5\pi}{12} = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}\right) = \frac{1}{\tan\frac{\pi}{12}} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$ et $\frac{5\pi}{12} \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$. Le résultat est confirmé.
$\arctan\frac{1+x}{1-x} = \frac{\pi}{4} + \arctan x$ si $x < 1$, $= \arctan x - \frac{3\pi}{4}$ si $x > 1$