On rappelle que $\operatorname{th}$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]-1, 1[$. On note $g : ]-1, 1[ \to \mathbb{R}$ sa réciproque.
-
Soit $y \in ]-1, 1[$. Résoudre l'équation $\operatorname{th} x = y$ d'inconnue $x \in \mathbb{R}$ et en déduire une expression de $g(y)$.
-
Calculer $g'(y)$ de deux façons : à partir de l'expression obtenue, puis par le théorème de dérivation des réciproques.
-
Résoudre $\operatorname{th} x = \frac{1}{2}$.
Multiplier numérateur et dénominateur de $\operatorname{th} x$ par $e^x$ et poser $v = e^{2x}$.
Vérifier que la valeur de $v$ obtenue est strictement positive.
Rappel : $\operatorname{th}' = 1 - \operatorname{th}^2$.
-
Pour tout réel $x$, en multipliant par $e^x$ : $\operatorname{th} x = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$. On pose $v = e^{2x} > 0$. L'équation $\operatorname{th} x = y$ équivaut à $v - 1 = y(v + 1)$, soit $v(1 - y) = 1 + y$. Comme $y \neq 1$ : $$e^{2x} = \frac{1 + y}{1 - y}.$$ Pour $y \in ]-1, 1[$, $1 + y > 0$ et $1 - y > 0$, donc ce nombre est strictement positif et l'équation équivaut à $2x = \ln\frac{1 + y}{1 - y}$. Ainsi $$g(y) = \frac{1}{2}\ln\frac{1 + y}{1 - y}.$$ (Cette fonction, notée $\operatorname{argth}$, est hors programme ; on la retrouve par ce calcul.)
-
Première méthode : $g(y) = \frac{1}{2}\big(\ln(1 + y) - \ln(1 - y)\big)$, donc $$g'(y) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1 + y} + \frac{1}{1 - y}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{1 - y^2} = \frac{1}{1 - y^2}.$$ Seconde méthode : $\operatorname{th}' = \frac{1}{\operatorname{ch}^2}$ ne s'annule pas, donc $g$ est dérivable sur $]-1, 1[$ et $$g'(y) = \frac{1}{\operatorname{th}'(g(y))} = \frac{1}{1 - \operatorname{th}^2(g(y))} = \frac{1}{1 - y^2}.$$ Les deux résultats coïncident.
-
$\frac{1}{2} \in ]-1, 1[$, donc l'unique solution est $x = g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\ln\frac{3/2}{1/2} = \frac{1}{2}\ln 3$.
$g(y) = \frac{1}{2}\ln\frac{1+y}{1-y}$ ; $g'(y) = \frac{1}{1-y^2}$ ; $x = \frac{1}{2}\ln 3$