Établir une identité par la dérivéeÉtablir une identité par localisationDérivée de arctan u
On veut montrer que pour tout $x \in ]-1, 1[$ : $$\arcsin x = \arctan\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}.$$
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Établir l'identité en dérivant la différence des deux membres.
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Établir de nouveau l'identité en posant $\theta = \arcsin x$ et en calculant $\tan\theta$.
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En déduire que $\arcsin\frac{3}{5} = \arctan\frac{3}{4}$.
Indice 1
Écrire $u(x) = x(1 - x^2)^{-1/2}$ et dériver comme un produit.
Indice 2
Simplifier $1 + u(x)^2$.
Indice 3
Pour 2, vérifier que $\theta \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$, puis utiliser $\arctan(\tan\theta) = \theta$ sur cet intervalle.
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