Croissances comparées : énoncé (MPSI)
Croissances comparées
Pour tous réels $\alpha > 0$ et $\beta > 0$ : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} = 0,\qquad \lim_{x \to 0^+} x^\alpha |\ln x|^\beta = 0,\qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{x^\beta}{e^{\alpha x}} = 0.$$ En $+\infty$, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, qui l'emporte sur toute puissance du logarithme.
Démonstration : Croissances comparées
Preuve des croissances comparées
Cas de base. Pour $x \geq 1$, l'inégalité $\ln t \leq t - 1$ appliquée à $t = \sqrt{x}$ donne $\ln x = 2 \ln \sqrt{x} \leq 2(\sqrt{x} - 1) < 2\sqrt{x}$. Donc $$0 \leq \frac{\ln x}{x} < \frac{2}{\sqrt{x}},$$ et par encadrement $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$ en $+\infty$.
Première limite. On pose $y = x^{\alpha/\beta}$, qui tend vers $+\infty$ quand $x \to +\infty$. Alors $\ln y = \frac{\alpha}{\beta}\ln x$ et $y^\beta = x^\alpha$, donc, pour $x > 1$ : $$\frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} = \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^\beta \left(\frac{\ln y}{y}\right)^\beta \longrightarrow 0,$$ par le cas de base et la continuité en $0$ de $t \mapsto t^\beta$ prolongée.
Deuxième limite. On pose $y = \frac{1}{x} \to +\infty$. Pour $0 < x < 1$, $|\ln x| = \ln y$, donc $x^\alpha|\ln x|^\beta = \dfrac{(\ln y)^\beta}{y^\alpha} \to 0$.
Troisième limite. On pose $y = e^{\alpha x} \to +\infty$, donc $x = \frac{\ln y}{\alpha}$. Pour $x > 0$ : $\dfrac{x^\beta}{e^{\alpha x}} = \dfrac{1}{\alpha^\beta} \cdot \dfrac{(\ln y)^\beta}{y} \to 0$ par la première limite.
Comparer $e^\pi$ et $\pi^e$
Soit $g(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0, +\infty[$. On a $g'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$, positif sur $]0, e]$, strictement négatif sur $]e, +\infty[$ : $g$ est strictement décroissante sur $[e, +\infty[$. Comme $\pi > e$ : $$\frac{\ln \pi}{\pi} < \frac{\ln e}{e} \iff e \ln \pi < \pi \iff \pi^e < e^\pi.$$ La première équivalence s'obtient en multipliant par $e\pi > 0$, la seconde par stricte croissance de $\exp$, puisque $\pi^e = e^{e \ln \pi}$. Numériquement, $e^\pi \approx 23{,}14$ et $\pi^e \approx 22{,}46$.