Puissance d'exposant réel : définition (MPSI)

Pour $a > 0$ et $b \in \mathbb{R}$, on pose $$a^b = e^{b \ln a}.$$ Cette définition prolonge les puissances entières : pour $n \in \mathbb{Z}$, $e^{n \ln a} = e^{\ln(a^n)} = a^n$. Elle prolonge aussi les racines : $a^{1/n}$ vérifie $\left(a^{1/n}\right)^n = e^{n \cdot \frac{1}{n}\ln a} = a$ ; c'est l'unique réel $y > 0$ tel que $y^n = a$, noté $\sqrt[n]{a}$. Comme $\ln e = 1$, on a $e^b = \exp(b)$, ce qui justifie la notation.