Prépa, 1re année › Fonctions usuelles › Étudier une fonction de la forme $u(x)^{v(x)}$
Étudier une fonction de la forme $u(x)^{v(x)}$ : méthode (MPSI)
Méthode
Étudier une fonction de la forme $u(x)^{v(x)}$
Quand la base et l'exposant varient tous les deux, aucune des deux formules précédentes ne s'applique.
- Écrire $u(x)^{v(x)} = e^{v(x) \ln u(x)}$ ; cela impose $u(x) > 0$, ce qui donne le domaine.
- Dériver l'exposant $w = v \ln u$ : $w' = v' \ln u + v \dfrac{u'}{u}$, puis $(e^w)' = w' e^w$.
- Pour les limites, étudier la limite de l'exposant $w(x)$, puis composer par $\exp$.
Exemple
La fonction $x \mapsto x^x$
Sur $]0, +\infty[$, $f(x) = x^x = e^{x \ln x}$. L'exposant $w(x) = x\ln x$ a pour dérivée $\ln x + 1$, donc $f'(x) = (1 + \ln x)\, x^x$. Comme $x^x > 0$, $f'(x)$ a le signe de $1 + \ln x$ : négatif sur $]0, e^{-1}[$, positif sur $]e^{-1}, +\infty[$.
| $x$ | $0$ | $e^{-1}$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $f$ | $1$ | $\searrow$ | $e^{-1/e}$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |
Le minimum vaut $f(e^{-1}) = e^{e^{-1} \ln(e^{-1})} = e^{-1/e} \approx 0{,}69$. En $0^+$, $x \ln x \to 0$ (croissances comparées, ci-dessous), donc $x^x \to e^0 = 1$. En $+\infty$, $x \ln x \to +\infty$, donc $x^x \to +\infty$.
S’entraîner
- Composer une fonction circulaire et une réciproque
- Dériver des fonctions usuelles composées
- Limites par croissances comparées
- Une bijection sans réciproque explicite
- Réciproque de la tangente hyperbolique
Dans le cours
Fonctions usuelles : Étudier une fonction de la forme $u(x)^{v(x)}$