Exponentielle de base $a$ : énoncé (MPSI)

Pour $a > 0$, la fonction $x \mapsto a^x = e^{x \ln a}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, de dérivée $x \mapsto (\ln a)\, a^x$. Elle est strictement croissante si $a > 1$, strictement décroissante si $0 < a < 1$, constante si $a = 1$. Pour $a \neq 1$, c'est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]0, +\infty[$, de réciproque $\log_a$.

Ne pas confondre $x \mapsto x^\alpha$ (exposant fixe, dérivée $\alpha x^{\alpha - 1}$) et $x \mapsto a^x$ (base fixe, dérivée $(\ln a)\, a^x$).