Croissances comparées : énoncé (Terminale spé)

Étape 1 : une inégalité. Soit $g(x)=e^x-\dfrac{x^2}{2}$ sur $[0;+\infty[$. La fonction $g$ est dérivable et $g'(x)=e^x-x$. On a montré dans la section précédente que $e^x>x$ pour tout réel $x$, donc $g'(x)>0$ : $g$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$. Comme $g(0)=1$, on a $g(x)\geq1>0$ pour tout $x\geq0$, c'est-à-dire $e^x>\dfrac{x^2}{2}$.

Étape 2 : cas $n=1$. Pour $x>0$, en divisant par $x>0$ : $\dfrac{e^x}{x}>\dfrac x2$. Comme $\lim_{x\to+\infty}\dfrac x2=+\infty$, par comparaison $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$.

Étape 3 : cas général. Soit $n\geq1$ et $x>0$. On écrit $e^x=\left(e^{x/n}\right)^n$ et $x=n\times\dfrac xn$, d'où $$\frac{e^x}{x^n}=\frac{\left(e^{x/n}\right)^n}{n^n\left(\frac xn\right)^n}=\frac{1}{n^n}\left(\frac{e^{x/n}}{x/n}\right)^n.$$ On pose $X=\dfrac xn$ : quand $x\to+\infty$, $X\to+\infty$ et, d'après l'étape 2, $\dfrac{e^X}{X}\to+\infty$. Par composition $\dfrac{e^{x/n}}{x/n}\to+\infty$, donc sa puissance $n$-ième tend vers $+\infty$ ; en multipliant par la constante $\dfrac1{n^n}>0$, on obtient $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$.

Étape 4 : en $+\infty$. Pour $x>0$, $x^ne^{-x}=\dfrac{1}{e^x/x^n}$. Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $\lim_{x\to+\infty}x^ne^{-x}=0$.

Étape 5 : en $-\infty$. On pose $X=-x$. Alors $x^ne^x=(-X)^ne^{-X}=(-1)^nX^ne^{-X}$. Quand $x\to-\infty$, $X\to+\infty$ et $X^ne^{-X}\to0$ d'après l'étape 4. Donc $\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0$.