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Fonctions puissances $x \mapsto x^\alpha$ : énoncé (MPSI)

Propriété

Fonctions puissances $x \mapsto x^\alpha$

Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ et $p_\alpha : x \mapsto x^\alpha = e^{\alpha \ln x}$ sur $]0, +\infty[$.

$p_\alpha$ est dérivable et $p_\alpha'(x) = \alpha x^{\alpha - 1}$.
Variations et limites :

	$\alpha < 0$	$\alpha = 0$	$\alpha > 0$
sens de variation	strictement décroissante	constante égale à $1$	strictement croissante
limite en $0^+$	$+\infty$	$1$	$0$
limite en $+\infty$	$0$	$1$	$+\infty$

Pour $\alpha > 0$, on prolonge $p_\alpha$ par continuité en $0$ en posant $0^\alpha = 0$. Ce prolongement est dérivable en $0$ si et seulement si $\alpha \geq 1$. Pour $0 < \alpha < 1$, sa courbe admet en $0$ une tangente verticale.
Comparaison : si $\alpha < \beta$, alors $x^\alpha < x^\beta$ pour $x > 1$, et $x^\alpha > x^\beta$ pour $0 < x < 1$.

Démonstration : Fonctions puissances $x \mapsto x^\alpha$

Démonstration

Preuve

Par dérivation d'une composée : $p_\alpha'(x) = \dfrac{\alpha}{x} e^{\alpha \ln x} = \alpha x^\alpha x^{-1} = \alpha x^{\alpha - 1}$. Comme $x^{\alpha-1} > 0$, son signe est celui de $\alpha$.

Limites : si $\alpha > 0$, $\alpha \ln x \to -\infty$ en $0^+$ et $\alpha\ln x \to +\infty$ en $+\infty$ ; on compose par $\exp$. Si $\alpha < 0$, les deux limites s'échangent.

En $0$, pour $\alpha > 0$, le taux d'accroissement du prolongement vaut $\dfrac{x^\alpha - 0}{x - 0} = x^{\alpha - 1}$. Il tend vers $0$ si $\alpha > 1$, vaut $1$ si $\alpha = 1$ et tend vers $+\infty$ si $0 < \alpha < 1$.

Comparaison : $\dfrac{x^\beta}{x^\alpha} = x^{\beta - \alpha} = e^{(\beta-\alpha)\ln x}$ avec $\beta - \alpha > 0$ ; ce nombre est $> 1$ si $\ln x > 0$ et $< 1$ si $\ln x < 0$.

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