Dérivée d'une fonction réciproque : énoncé (MPSI)
Dérivée d'une fonction réciproque
Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, et $f^{-1} : J \to I$ sa réciproque. Soit $a \in I$ et $b = f(a)$. Si $f$ est dérivable en $a$ et si $f'(a) \neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $b$ et $$(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(b)\big)}.$$ En particulier, si $f$ est dérivable sur $I$ et si $f'$ ne s'annule pas sur $I$, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $J$ et $(f^{-1})' = \dfrac{1}{f' \circ f^{-1}}$.
Démonstration : Dérivée d'une fonction réciproque
Idée de la preuve et obtention de la formule
Dérivabilité. Pour $y \in J$, $y \neq b$, on pose $x = f^{-1}(y)$ ; alors $x \neq a$ par injectivité et $$\frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(b)}{y - b} = \frac{x - a}{f(x) - f(a)}.$$ Quand $y \to b$, on a $x \to a$ par continuité de $f^{-1}$ (théorème de la bijection), et ce quotient tend vers $\dfrac{1}{f'(a)}$ puisque $f'(a) \neq 0$. La rédaction complète de ce passage à la limite est faite dans le chapitre « Dérivation ».
Formule. Une fois la dérivabilité acquise, on dérive l'identité $f\big(f^{-1}(y)\big) = y$, valable pour tout $y \in J$. La dérivée d'une composée donne, en $y = b$ : $$f'\big(f^{-1}(b)\big) \times (f^{-1})'(b) = 1,$$ d'où $(f^{-1})'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}$ puisque $f^{-1}(b) = a$.
Tangente verticale
Si $f'(a) = 0$, la courbe de $f$ a une tangente horizontale au point $(a, b)$. Par symétrie, la courbe de $f^{-1}$ a une tangente verticale au point $(b, a)$, et $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $b$. C'est le cas de $x \mapsto \sqrt{x}$ en $0$ (réciproque de $x \mapsto x^2$ sur $[0, +\infty[$), et de $\arcsin$, $\arccos$ en $\pm 1$.
Une réciproque sans formule explicite
Soit $f : x \mapsto x + e^x$ sur $\mathbb{R}$.
- $f$ est dérivable et $f'(x) = 1 + e^x > 0$ : $f$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\mathbb{R}$.
- $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ (car $e^x \to 0$) et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
Par le théorème de la bijection, $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$. On ne sait pas écrire $f^{-1}$ avec les fonctions usuelles, mais $f^{-1}$ est continue, strictement croissante, et dérivable sur $\mathbb{R}$ car $f'$ ne s'annule pas. Comme $f(0) = 1$, on a $f^{-1}(1) = 0$ et $$(f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{2}.$$
S’entraîner
- Composer une fonction circulaire et une réciproque
- Dériver des fonctions usuelles composées
- Une bijection sans réciproque explicite
- Réciproque de la tangente hyperbolique
- Exprimer arcsin à l'aide de arctan