Soit $f : ]0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x + \ln x$.
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Montrer que $f$ réalise une bijection de $]0, +\infty[$ sur un intervalle $J$ à préciser.
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Justifier que $f^{-1}$ est dérivable sur $J$. Calculer $(f^{-1})'(1)$ et $(f^{-1})'(e + 1)$.
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Donner l'équation de la tangente à la courbe de $f^{-1}$ au point d'abscisse $1$.
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Montrer que pour tout réel $y$, $f^{-1}(y)\, e^{f^{-1}(y)} = e^y$.
Suivre la méthode : continuité, signe de $f'$, limites aux bornes.
Chercher des antécédents évidents de $1$ et de $e + 1$.
Pour 4, poser $x = f^{-1}(y)$, écrire $x + \ln x = y$ et appliquer $\exp$.
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$]0, +\infty[$ est un intervalle, et $f$ y est continue et dérivable, avec $f'(x) = 1 + \frac{1}{x} > 0$. Donc $f$ est strictement croissante. En $0^+$, $x \to 0$ et $\ln x \to -\infty$, donc $f(x) \to -\infty$. En $+\infty$, $f(x) \to +\infty$ comme somme de deux termes tendant vers $+\infty$. Par le théorème de la bijection, $f$ est une bijection de $]0, +\infty[$ sur $J = \mathbb{R}$.
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$f$ est dérivable et $f'$ ne s'annule pas sur $]0, +\infty[$, donc $f^{-1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, avec $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}$.
- $f(1) = 1 + 0 = 1$, donc $f^{-1}(1) = 1$ et $(f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{2}$.
- $f(e) = e + 1$, donc $f^{-1}(e + 1) = e$ et $(f^{-1})'(e + 1) = \frac{1}{1 + \frac{1}{e}} = \frac{e}{e + 1}$.
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La tangente au point d'abscisse $1$ a pour équation $y = f^{-1}(1) + (f^{-1})'(1)(x - 1)$, soit $y = 1 + \frac{1}{2}(x - 1)$, c'est-à-dire $y = \frac{x + 1}{2}$.
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Soit $y \in \mathbb{R}$ et $x = f^{-1}(y) > 0$. Alors $f(x) = y$, soit $x + \ln x = y$. En appliquant $\exp$ : $e^x e^{\ln x} = e^y$, c'est-à-dire $x e^x = e^y$. C'est l'égalité voulue.
$J = \mathbb{R}$ ; $(f^{-1})'(1) = \frac{1}{2}$ ; $(f^{-1})'(e+1) = \frac{e}{e+1}$ ; tangente $y = \frac{x+1}{2}$