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Prépa, 1re année › Fractions rationnelles › Décomposer une fraction réelle

Décomposer une fraction réelle : méthode (MPSI)

Méthode

Décomposer une fraction réelle

  1. Calculer la partie entière.
  2. Factoriser le dénominateur en irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ (vérifier $p^2-4q<0$ pour chaque facteur de degré 2).
  3. Écrire la forme de la décomposition avec des coefficients inconnus : un numérateur constant pour la première espèce, un numérateur affine $bX+c$ pour la seconde espèce.
  4. Pôles réels : méthodes de la section précédente.
  5. Facteur $X^2+pX+q$ d'exposant 1, de racine complexe $z$ : multiplier $F$ par $X^2+pX+q$, évaluer en $z$, obtenir $bz+c$, puis identifier parties réelle et imaginaire (ce qui est licite car $b,c$ sont réels et $z\notin\mathbb{R}$).
  6. Compléter avec la limite de $xF(x)$, une évaluation, la parité.

Variante : décomposer sur $\mathbb{C}$, puis regrouper les termes relatifs à deux pôles conjugués. Pour $F$ réelle, les coefficients associés à $z$ et à $\overline z$ sont conjugués, par unicité.

Exemple

Évaluation en une racine complexe

Soit $F=\dfrac{1}{X(X^2+1)}$ ; $X^2+1$ est irréductible sur $\mathbb{R}$. On cherche $$F=\frac{a}{X}+\frac{bX+c}{X^2+1}.$$

  • Pôle simple $0$ : $a=\dfrac{1}{0^2+1}=1$.
  • Multiplication par $X^2+1$ et évaluation en $i$ : $\dfrac{1}{i}=bi+c$, soit $-i=c+bi$. Comme $b,c\in\mathbb{R}$ : $c=0$, $b=-1$.

$$\frac{1}{X(X^2+1)}=\frac{1}{X}-\frac{X}{X^2+1}.$$ Contrôle par parité : $F$ est impaire, donc par unicité la décomposition l'est aussi, ce qui impose $c=0$.

Exemple

Regrouper deux pôles conjugués

Soit $F=\dfrac{1}{X^4-1}=\dfrac{1}{(X-1)(X+1)(X^2+1)}$. Sur $\mathbb{C}$ les pôles $1,-1,i,-i$ sont simples et $\lambda=\dfrac{1}{4a^3}$ : $$\lambda_1=\frac14,\quad\lambda_{-1}=-\frac14,\quad\lambda_i=\frac{1}{4i^3}=\frac{1}{-4i}=\frac{i}{4},\quad\lambda_{-i}=-\frac{i}{4}.$$ Regroupement : $\dfrac{i/4}{X-i}-\dfrac{i/4}{X+i}=\dfrac{i}{4}\cdot\dfrac{2i}{X^2+1}=-\dfrac{1}{2(X^2+1)}$. Donc $$\frac{1}{X^4-1}=\frac{1}{4(X-1)}-\frac{1}{4(X+1)}-\frac{1}{2(X^2+1)}.$$ Vérification en $0$ : $-\frac14-\frac14-\frac12=-1$.

Attention

Irréductible sur R ou non

$X^2-1$, $X^2-2X$ ou $X^2+2X+1$ ne sont pas irréductibles sur $\mathbb{R}$ : on les factorise avant de décomposer. À l'inverse, $X^4+1$ n'a pas de racine réelle mais n'est pas irréductible : $X^4+1=(X^2+\sqrt2X+1)(X^2-\sqrt2X+1)$.

S’entraîner

Dans le cours

Fractions rationnelles : Décomposer une fraction réelle