Existence et unicité de la forme irréductible : énoncé (MPSI)

Existence. Soit $F=\dfrac{A}{B}$ et $D=A\wedge B$. On écrit $A=DA_1$, $B=DB_1$ avec $A_1\wedge B_1=1$. Alors $AB_1=DA_1B_1=A_1B$, donc $F=\dfrac{A_1}{B_1}$. Si $c$ est le coefficient dominant de $B_1$, on pose $P=\dfrac{A_1}{c}$, $Q=\dfrac{B_1}{c}$ : $Q$ est unitaire et $P\wedge Q=1$.

Unicité. Soient $\dfrac{P}{Q}=\dfrac{P_1}{Q_1}$ deux représentants irréductibles avec $Q,Q_1$ unitaires. Alors $PQ_1=P_1Q$. Ainsi $Q$ divise $PQ_1$ et $Q\wedge P=1$, donc $Q\mid Q_1$ par le théorème de Gauss. Symétriquement $Q_1\mid Q$. Deux polynômes unitaires qui se divisent mutuellement sont égaux : $Q=Q_1$. Puis $PQ=P_1Q$ avec $Q\neq 0$, donc $P=P_1$ par intégrité de $\mathbb{K}[X]$.