Prépa, 1re année › Fractions rationnelles › Règles de calcul sur le degré
Règles de calcul sur le degré : énoncé (MPSI)
Propriété
Règles de calcul sur le degré
Pour $F,G\in\mathbb{K}(X)$ :
- $\deg(F+G)\leqslant\max(\deg F,\deg G)$ ;
- $\deg(FG)=\deg F+\deg G$ ;
- si $F\neq 0$, $\deg\left(\dfrac{1}{F}\right)=-\deg F$.
Démonstration : Règles de calcul sur le degré
Démonstration
Règles sur le degré
Écrivons $F=\dfrac{A}{B}$, $G=\dfrac{C}{D}$. Alors $F+G=\dfrac{AD+BC}{BD}$ et $$\deg(AD+BC)\leqslant\max(\deg A+\deg D,\ \deg B+\deg C).$$ En retranchant $\deg B+\deg D$ : $$\deg(F+G)\leqslant\max(\deg A-\deg B,\ \deg C-\deg D)=\max(\deg F,\deg G).$$ Pour le produit, $\deg(AC)-\deg(BD)=(\deg A-\deg B)+(\deg C-\deg D)$. Enfin $F\times\dfrac{1}{F}=1$ donne $\deg F+\deg\dfrac1F=0$.
S’entraîner
- Forme irréductible, zéros et pôles
- Trois parties entières
- Élément de seconde espèce et primitive
- Pôle triple et calcul d'intégrale
- Les sommes de Lagrange